例析求二次函數最值的“四步曲”

朱繼娟

(四川省南充市嘉陵第一中學 637000)

一、二次函數求最值問題

對于二次函數求最值問題，有人把它歸納為四類：軸定區間定、軸定區間動、軸動區間定、軸動區間動.也有人把它歸納為兩類：含參數的二次函數求最值問題和不含參數的二次函數求最值問題.其實，這兩種分類方法思想都可以將解決最值問題時的基本步驟歸納為八個字，即“一看、二求、三判、四得.”具體來說求二次函數最值的“四步曲”是：第一步看二次函數的開口方向，第二步求二次函數的對稱軸，第三步判斷二次函數在給定區間上的單調性，第四步得出結果.下面通過具體實例對上述“四步曲”進行說明.

二、例題解析

例1 求函數f(x)=x2-4x在[-1,1]上的最大值和最小值.

故歸納解題步驟如下：

此類題目我們可以做如下總結：

當給出的區間不為具體數字時，怎么處理相對簡潔呢，來看一看下面的例題：

例2若函數f(x)=x2-2x+2，x∈[t,t+1],t∈R上的最小值為g(t)，試寫出g(t)的函數表達式.

當對稱軸在區間左邊(含端點)即1≤t時，函數f(x)在區間[t,t+1]上為增函數；

當對稱軸在區間右邊(含端點)即1≥t+1時，函數f(x)在區間[t,t+1]上為減函數；

當對稱軸在區間內(不含端點)即t<1

第四步得出結果：

當t≥1時，fmin(x)=f(t)=t2-2t+2；

當t≤0時，fmin(x)=f(t+1)=t2+1；

當0

故歸納解題步驟如下：

當t≥1時，函數f(x)在區間[t,t+1]上為增函數，fmin(x)=f(t)=t2-2t+2；

當1≥t+1即t≤0時，函數f(x)在區間[t,t+1]上為減函數，fmin(x)=f(t+1)=t2+1；

當t<1

我們可以得出這樣的結論：

對于二次函數求最值,軸定區間動這一類題，對稱軸與區間的位置關系有三種：(1)對稱軸在區間左邊(含端點)；(2)對稱軸在區間右邊(含端點)；(3)對稱軸在區間內(不含端點)，先確定參數范圍，然后再判斷函數在給定區間上的單調性，最后再求結果.

當有參數出現時，有人覺得這樣的問題難度陡增.其實也有規律可尋：

例3已知函數f(x)=x2-2ax+2，x∈[-1,1]，求函數f(x)的最小值.

分析第一步看二次函數的開口方向：開口向上；第二步求二次函數的對稱軸：x=a；第三步判斷函數在給定區間[-1,1]上的單調性：這時不難發現此題中對稱軸不確定，但區間確定，此時對稱軸與區間的位置關系有三種：(1)對稱軸在區間左邊(含端點)；(2)對稱軸在區間右邊(含端點)；(3)對稱軸在區間內(不含端點).

當對稱軸在區間左邊(含端點)即a≤-1時，函數f(x)在區間[-1,1]上為增函數；當對稱軸在區間右邊(含端點)即a≥1時，函數f(x)在區間[-1,1]上為減函數；當對稱軸在區間內(不含端點)即-1

第四步得出結果：

當a≤-1時，fmin(x)=f(-1)=3+2a；

當a≥1時，fmin(x)=f(1)=3-2a；

當-1

故歸納解題步驟如下：

解函數f(x)=x2-2ax+2開口向上，對稱軸為x=a.當a≤-1時，函數f(x)在區間[-1,1]上為增函數，fmin(x)=f(-1)=3+2a；當-1

然后，我們對此做一總結歸納即可：

對于二次函數求最值軸動區間定這一類題時，f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區間[m,n]上的最值分為以下三種情況：

當然，如果區間和對稱軸都不確定時，我們也可以根據這樣的步驟將其分析完整：

分析第一步看二次函數的開口方向：開口向上；第二步求二次函數的對稱軸：x=2m+1；第三步判斷函數在給定區間[m,m+2]上的單調性：這時不難發現此題中對稱軸不確定，且區間不確定，但對稱軸與區間的位置關系也只有三種：(1)對稱軸在區間左邊(含端點)；(2)對稱軸在區間右邊(含端點)；(3)對稱軸在區間內(不含端點).

當對稱軸在區間左邊(含端點)即2m+1≤m時，得m≤-1，此時函數g(x)在區間[m,m+2]上為增函數；

當對稱軸在區間右邊(含端點)即2m+1≥m+2}時，得m≥1，此時函數g(x)在區間[m,m+2]上為減函數；

當對稱軸在區間內(不含端點)即m<2m+1

第四步得出結果：

故歸納解題步驟如下：

評析對于二次函數求最值，軸動區間動時，是二次函數中最復雜的問題，但它做題步驟及分類討論標準可以參照軸動區間定和軸定區間動的類型來做.

綜上四個實例我們不難發現：求二次函數最值各類題型，我們都可以用和“一看、二求、三判、四得”這四步曲得到，另外這里只是列舉了二次函數開口向上的情況，開口向下時同理可求.

總之希望二次函數求最值“一看、二求、三判、四得”這四步曲能幫助大家求二次函數最值更快更準確.