例談數列求和
——裂項相消法

趙秋鳴

(河北省唐山市第二中學 063000)

數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎.等差數列，等比數列的通項，數列求和等問題，每年都是考查的重點.數列求和的問題需要根據數列特點選擇解決方法，必須掌握常用的數列求和方法，數列求和的常見方法有錯位相減法、裂項相消法、分解轉化法、倒序相加法，數列求和往往和其他知識綜合在一起，綜合性較強.下面通過例題來說明用裂項相消法求數列前n項和，希望能對同學們有所幫助.

例1已知等差數列{an}的前n項和是Sn，等差數列{bn}的各項均為正數，且a1=1，S5=25，S2=b2，S4=b4．

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

∴an=1+2(n-1)=2n-1．

∴S2=b2=4，S4=b4=16．

∵{bn}是各項均為正數的等比數列，

∴bn=b2qn-2=2n．

點評本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力．

例2已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2Sn+1，其中Sn為{an}的前n項和，n∈N*．

(1)求an；

分析(1)數列{an}滿足a1=1，an+1=2Sn+1，n≥2時，an=2Sn-1+1，相減可得：an+1-an=2an，即an+1=3an，利用等比數列的通項公式即可得出．

解(1)數列{an}滿足a1=1，a2=2S1+1=3.an+1=2Sn+1，

n≥2時，an=2Sn-1+1，

相減可得：an+1-an=2an，即an+1=3an，n∈N*.

∴數列{an}是等比數列，公比為3，首項為1．

∴an=3n-1．

(2)數列{bn}滿足

∴{bn}的前n項和為

對任意的正整數n都有Tn

點評本題考查了數列遞推關系、等比數列的定義通項公式、裂項求和、數列的單調性、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力．

例3設數列{an}的前n項和Sn，Sn=n2(n∈N*)．

(1)記bn=22n-1，求數列{bn}的前n項的和Tn；

分析(1)根據當n≥2時，an=Sn-Sn-1，當n=1時，a1=S1，求出an=2n-1，從而求出bn=22n-1，用等比數列的前n項和公式可得答案；

(2)利用“裂項求和”即可得出．

解(1)當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

當n=1時，S1=1，∴a1=1，符合上式，∴an=2n-1.

∵bn=22n-1，

點評本題考查了等差數列前n項和與an的關系、等比數列的前n項和公式，裂項求和，考查了推理能力與計算能力.

分析因為Tn←bn←Sn←an←a1,d，所以應確定{an}的首項及公差.

Tn=b1+b2+b3+…+bn

點評本題中的條件較多，通過分析找出基本量，簡化條件，同時明確解題方向. 求數列{bn}的前n項和Tn使用的是裂項法.

通過以上例題的分析，我們可以看到由于條件不同，裂項方法不同，具有很強的靈活性，但我想信只要同學們在平時學習中多練習這類題，能夠積累一些方法技巧，體會解法思路，肯定會有大的收獲.