關(guān)于求解數(shù)列的通項公式九種常見類型與方法

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)

求數(shù)列通項題型具有很強(qiáng)的規(guī)律性，本文對數(shù)列通項公式問題進(jìn)行九種分類與歸納，希望對廣大師生有借鑒之用.

一、形如

這種題型適合用迭加法進(jìn)行求解.

例1已知數(shù)列{an}滿足an+1-an=2n+1，a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由an+1-an=2n+1得

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

=(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n2.

二、形如

這種題型適合用迭乘法進(jìn)行求解.

∵a1=3,

三、形如 (其中p,q均為常數(shù))

這種題型可以設(shè)an+1+λ=p(an+λ)，解出λ，再化為等比數(shù)列求解.

例3已知在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+3，求an.

解設(shè)an+1+λ=2(an+λ)，則an+1=2an+λ.

∵an+1=2an+3，∴λ=3，∴an+1+3=2(an+3).

∵a1=1,∴a1+3=4,

∴{an+3}是以4為首項，公比為2的等比數(shù)列.

∴an+3=4×2n-1，∴an=2n+1-3.

這種題型可以設(shè)an+1+λ·qn+1=p(an+λ·qn)，解出λ，再化為等比數(shù)列求解.

例4已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3×5n,a1=6，求數(shù)列{an}的通項公式.

解∵an+1=2an+3×5n,設(shè)an+1+λ·5n+1=2(an+λ×5n)，則an+1=2an-3λ×5n.

∵an+1=2an+3×5n,∴λ=-1.

∴an+1-5n+1=2(an-5n).∵a1=6,a1-5=1,

∴數(shù)列{an-5n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.

∴an-5n=1×2n-1，即an=2n-1+5n.

五、形如

這種題型可以先由n=1求出a1，再由遞推式求n≥2時的通項公式，最后一定要檢驗n=1該通項公式是否滿足.如滿足，則所求通項公式為整個函數(shù)的通項公式，如不滿足，則最后結(jié)果要以分段函數(shù)的形式表示.

例5已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1,an+1=2Sn(n∈N*)，求{an}的通項公式.

∴an=2×3n-2(n≥2).

六、形如為常數(shù)

七﹑形如an+1=pan+qn+r(pq≠0)，p,q,r為常數(shù)

這種題型可以設(shè)an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B),對比前后兩式，求出A，B，再化為等比數(shù)列求解.

例7設(shè)數(shù)列{an}：a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2)，求an.

解設(shè)an+An+B=3[an-1+A(n-1)+B]，則an+An+B=3an-1+3An-3A+3B，∴an=3an-1+2An+2B-3A.

∵an=3an-1+2n-1，∴A=1,B=1,

∴an+n+1=3[an-1+(n-1)+1].

又∵a1=4,∴a1+1+1=6，

∴數(shù)列{an+n+1}是首項為6，公比為3的等比數(shù)列.

∴an+n+1=6×3n-1，∴an=2×3n-n-1

八、形如

這種類型可以分類看看，若p=1，則等式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，化為lgan=rlgan-1，得到首項為lga1，公比為r的等比數(shù)列{lgan}，進(jìn)一步求解即可；若p≠1，則等式兩邊取以p為底的對數(shù)得：logpan=rlogpan-1+1，可利用類型三求解.

∴{lgan}是首項為lg3，公比為2的等比數(shù)列.

∴l(xiāng)gan=2n-1lg3,

∴an=32n-1.

九、形如an+2=pan+1+qan，p，q為常數(shù)

這種題型可以把a(bǔ)n+2=pan+1+qan化成an+2+λan+1=p(an+1+λan)，求{an+1+λan}通項，再用類型三，類型四方法求解.

∵a1=1,a2=2,∴a2-a1=1.

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

以上為常見求數(shù)列通項公式的九種方法，其實數(shù)列通項公式的條件往往就有很強(qiáng)的指向性，只要把握好其中規(guī)律，結(jié)合方法總結(jié)，就可以對癥下藥，理清思路，這類型的問題就自然迎刃而解.