論中值定理在不等式證明中的應用

孫靜茹

摘 ?要：該文主要對中值定理在不等式證明過程中的應用問題做簡單介紹。在應用泰勒中值定理證明不等式時，給出了泰勒公式中展開點選取的4種情況，同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好地運用泰勒中值定理證明不等式。這一方法促進了學生在具體的應用場景中，更加深入地理解中值定理，加強了學生對理論知識的掌握，提升了其知識遷移和分析綜合能力。

關鍵詞：泰勒中值定理 ?不等式證明 ?理論知識

中圖分類號：O172 ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-3791（2019）07（a）-0117-02

不等式證明是數學學習中的重要內容，與應用題及計算題相比，其在函數構造和證明思路上存在較大難度，研究不等式證明對發展學者的數學思維、邏輯思維具有重要作用。不等式證明的方法有很多，但初等證法往往需要較高的技巧。泰勒中值定理和積分中值定理在數學分析中具有舉足輕重的地位，以它為工具能較好地研究函數形態，有些用常規方法難以證明的不等式，可以根據不等式的結構特征，運用泰勒和積分中值定理將其進行巧妙的構造，把不等式問題轉化為函數問題。

1 ?應用泰勒中值定理證明不等式

泰勒中值定理建立了函數在一個區間上的增量與這個函數在區間內某一點處的高階導數之間的聯系，而利用泰勒中值定理證明某些抽象函數的不等式是比較難理解的，探究其原因主要是因為泰勒公式中展開點的選取，那么能否找到一個有效的方法和技巧來掌握泰勒公式中的展開點呢？通過探究發現，這是有一定規律的，下面就各種情況的范圍和特點做出說明，以便更好地利用泰勒中值定理證明不等式。

1.1 展開點選取區間的中點

這是比較常見的一種情況，在泰勒公式中取適當值，通過兩式相加減，并對這些項進行縮放，便可將多余的項去掉而得到所要的不等式，下面以實例說明。

由于積分具有許多特殊的運算性質，故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性。若被積函數是兩個函數之積時，可考慮用廣義積分中值定理，如在證明例5時，可以先估計定積分的值再證明不等式比較簡單。

偉大的數學家希爾伯特說“數學的生命力在于聯系”，數學中存在著概念之間的親緣關系。因此，探索數學中各種各樣的聯系是指導數學研究的一個重要思想。在應用中值定理證明不等式時，我們容易思維定式，今后應當注重研究中值定理之間的聯系，以便更好地應用中值定理解決不等式的證明問題。中值定理在微積分中占有重要的地位，深入挖掘滲透在定理中的數學思想，對于啟迪思維、培養創造能力具有重要意義。

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