題組設計，讓兒童數學思維體驗走向深刻

蔣敏杰 閔建元

摘要：數學教學中，題組設計基于相似或不同問題內涵的邏輯聯系，精心設計對比或關聯性的題組來組織學生練習，往往可以起到舉一反三、事半功倍的效果。題組設計中，要注重整體認知，緊扣思維關鍵點;注重橫縱對比，抓住問題核心突破;注重評價反思，凸顯思維優化。實際教學中，立意思維發展的題組設計與實施，將大大提升學生對問題數學實質的理解，提升學生對數學知識的掌握與應用。

關鍵詞：題組設計;思維體驗;兒童數學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）07B-0067-05

當下，我們都在圍繞學生學科素養的發展，理解學科教學內容，努力優化課程實施樣式，促進兒童核心素養的發展。題組設計能有效地幫助學生提煉方法，聚焦問題核心，促使學生深刻理解數學問題的本質內涵。

所謂題組設計，就是設計既有內在聯系、又有外在區別的題組，并以此組織展開教學，讓學生在獨立嘗試、交流反思中完善知識結構，優化數學思維，加深數學學習體驗，并積累有效的數學學習經驗，提升數學思維品質。題組設計是一類有關聯的題的教學，可以讓學生從整體上把握一類題的特征，理解這一類題中所蘊含的數學本質，助推學生的數學理解、數學思維由感性上升為理性;題組設計的應用特別注重引導學生對一類問題的對比，在對比過程中發展學生觀察、比較、分析、綜合等數學思維能力;題組設計實施中，要及時組織學生評價反思學習過程和學習結果，在思維優化的過程中，掌握解決數學問題的正確方法。

題組設計及教學在實際教學過程中還存在很多值得研究的問題，比如“如何更好地設計題組，發揮作用”“如何組織題組活動，拓寬應用”等，都是我們一線教師還需要進一步實踐并持續研究的問題。

一、注重整體認知，緊扣思維關鍵點

相關研究表明，碎片化知識可辨識度低，不利于理解、記憶與應用，由于缺乏聯系，學生難以從整體結構的視角洞察其數學實質。題組設計，突顯問題關聯，由單一題上升為有內在聯系的一類題，抓住兒童分析問題的數學思維關鍵點，促進學生有關聯地學，從而感悟一類數學知識的特點，加深對問題的數學理解。一般地，題組設計要基于教材的編寫意圖，基于設定的教學目標，在題組對比中采用抓聯系、用變式的方法，幫助學生理清知識的內在關聯，整體架構數學認知，讓思維的觸角深入數學問題，排除不利因素的干擾，使思維逐步變得清晰。

1.抓聯系，讓數學思維走向清晰

數量關系是數量之間內在的邏輯關系，有關聯的數量關系之間也存在著內在邏輯關系。如何讓學生正確理解和分析數量關系，是解決問題教學中的一個重點和難點。學生分析數量關系往往受感性因素的干擾，思維常停留在淺表層面，因不能正確構建邏輯關系，導致思維混亂。題組設計可以根據有內在關聯的一組數量關系，組成有聯系的問題題組，幫助學生辨析理解。教學中，教師可引導學生從具體的已知條件和所求問題中抽象出數量關系，再把不同的有內在關聯的數量關系進行對比，感悟到這些數量關系之間所存在的內在邏輯關系，整體分析多個關聯數量的邏輯關系，使學生對數量關系的分析和理解上升到理性層面，讓數學思維變得清晰可辨。比如在教學一步應用題時，根據單價、數量、總價這三個關聯的量，可設計由三道問題解決題組成的題組。

題組1：

A.鋼筆每支12元，買6支鋼筆，一共要付多少元？

B.鋼筆每支12元，一共付了72元，買了多少支鋼筆？

C.買6支鋼筆，一共付了72元，每支鋼筆多少錢？

教學時先組織學生讀題，明確問題中的已知條件和問題，“說說已知什么，要求什么，可以怎樣解答？”幫助學生抽象出數量關系。這時學生對數量關系既熟悉又陌生，熟悉的是對每道題的具體情境與數量關系的識別，陌生的是對這三道題所用數量關系的內在關聯，及這三個關聯數量之間邏輯關系的內在規律。最后，教師引導學生“比一比這三題的數量關系，看看有什么發現？”引導學生從整體上認知三個量之間的數量關系，體驗到已知其中的兩個相關聯的量，就可以求出第三個量。借助過程分析與對比，學生分析數量關系的數學思維，就由淺層的單一的具象理解，上升為深層的整體的抽象理解。學生通過題組對比，形成了舉一反三的數學思維能力，解決問題的數學思維變得清晰可辨。

2.用變式，讓數學思維擺脫思維定式的束縛

單個練習，時間久了容易產生錯誤的思維定式，這些錯誤的思維定式如不加干預和處理，會對學生的數學思維起干擾和負面遷移作用。比如在解決“比多比少”的問題時，經常有學生看到“多”字就用加，看到“少”字就用減。這是因為學生在具體的問題解決情境中，由個別的成功經驗而做出的錯誤的邏輯推斷所造成的，學生沒能體驗到在某些特定條件下所獲得的經驗，并不具備普遍性。所以教師可根據“多的”“少的”“相差數”這三個有關聯的數量設計變式題組，讓學生在練習和對比中感悟三個關聯數量內在的邏輯關系，幫助學生掌握正確分析數量關系的方法。

題組2：

A.小紅做藍花35朵，做的紅花比藍花多16朵，紅花做了多少朵？

B.小紅做紅花51朵，做的紅花比藍花多16朵，藍花做了多少朵？

C.小紅做藍花35朵，做紅花51朵，做的紅花比藍花多多少朵？

此題組展開教學中，先讓學生分析題中比多比少的關鍵句，明確到底誰多、誰少，再在感性認識的基礎上，提煉抽象出數量關系。明確求多的用加法（少的+相差數=多的），求少的用減法（多的-相差數=少的），求相差數用減法（多的-少的=相差數）。此時學生對數量關系的理解仍然停留在感性認識階段，需要教師將思維向前“推一下”，引導學生對比有內在關聯的三個數量關系。“是不是在關鍵句中有‘多字，就用加法，有‘少字就用減法？”“在解決問題中，我們應該經歷怎樣的過程？”教師采用問題引領的方式，啟發學生反思自己的分析過程，在思維深處理解，認識到面對“多”和“少”的處理，首先要分析數量關系，建立等量關系的道理。教師通過變式，以學生已有的錯誤思維定式入手，形成與正確理解應用數量關系之間的認知沖突，主動擺脫錯誤的思維定式，從而幫助學生進一步明晰數量關系在解決問題中的關鍵作用，把握數學本質。通過這樣的題組應用，可以促進學生對數學知識的整體認知和整體建構，在思維出現干擾和混淆時，有利于思維結果的去偽存真。

二、注重橫向和縱向對比，抓住問題核心突破

題組設計要注重引導橫向和縱向對比，抓住問題核心，使學生的數學思維獲得突破。數學練習的作用不僅僅是數學知識的鞏固與應用，更承載著數學思維的拓展和延伸。練習中適時設計題組，可在對比和反思中將學生的思維引向數學問題的核心。比如，運算律的教學是培養學生數學思維能力的一個重要內容，運用運算律根據題目的具體特征靈活運算，對學生提出了更高的思維要求。應用題組展開教學，采用橫向和縱向對比的方式，可使學生思維緊抓數學問題的核心，幫助學生打通運算律的外部表征與內在規律之間的聯系。以四年級學完乘法交換律之后的題組設計為例，教師為了拓展學生對運算律的外部表征的理解，掌握更多的靈活運算的方法，設計了如下系列題組進行教學拓展。

題組3：

A.12×5÷4 ? ? ?12÷4×5

B.32×15÷8 ? ? ?32÷8×15

C.36÷9×10 ? ? ?36×10÷9

D.45÷5÷9 ? ? ? ?45÷9÷5

E.105÷5÷7 ? ? ?105÷7÷5

師：請同學們先算一算，再比一比每組的題，看看你有什么發現？

生：我發現每組兩題的計算結果是相等的。

生：我發現每組的第一個數不變。

生：我發現每組的兩個算式后兩個數只是換了一下運算順序，原來乘幾還是乘幾，原來除以幾還是除以幾。

生：我發現這些算式都是只有乘除的計算。

師：同學們剛才通過計算和比較，發現這些算式交換題中后兩個除數和乘數的位置，計算結果不變。通過這幾個例子發現的結論你覺得可靠嗎？怎樣進一步驗證可靠性？

生：我們每個人照樣子再多舉幾個例子，再算一算看看有沒有反例。

師：對的。通過幾個例子發現的規律就匆忙下結論是不嚴謹的，我們通常要尋找更多的例子來驗證規律的可靠性。

上述教學片段，學生在運算及問題解決中會碰到更多的具體情境，為了培養學生更強的靈活運算的能力，拓展學生的數學思維，教師設計了上述題組練習，以幫助學生借助算式間的等價關系，拓展靈活運算的方法。教學時，教師讓學生帶著發現的眼光去計算，讓學生經歷觀察、比較、發現、驗證、下結論的探索規律的過程，引導學生對比計算結果，對比算式中的數和運算符號，對比當下發現的規律和已發現的規律，以幫助學生體驗自主探索數學規律的一般方法。

關注“比較”“發現”是數學思維中的重要環節，設計題組練習展開教學，是幫助學生理清數學思維、發現數學規律外部特征及內在本質的重要手段。

1.注重橫向對比，把握問題核心

“比較”是學生發現數學規律、把思維引向問題核心的首要條件。所謂橫向對比，就是在外部特征類似的題組中比較相異點，突出相同點。如上例中，通過橫向對比，學生發現每個小題組中的兩道題結果是相同的，題中左起第一個數是相同的，每組題中都只含同級運算，左起第二個數和第三個數實質也是相同的，不同的是第二個數和第三個數連同左邊的符號整體交換了位置。學生在橫向對比的引導中，把問題的核心聚焦到計算結果、運算符號和數等這幾個關鍵因子，數學規律的外部模型在頭腦中初步建立。通過更多的舉例和驗證，類似的觀察和對比，從這些外部特征中抽象出數學規律，已水到渠成。

2.注重縱向對比，突破問題核心

所謂縱向對比，就是把現有認知和已有認知進行對比，尋找共同點和不同之處，建立起兩者溝通的橋梁，使認知結構得到進一步鞏固和優化。首先要有高觀點架構，學生從上一題組中所發現的規律是基于學過的乘法交換律之后對兩者之間聯系的認知，此時學生的思維還停留在具體問題上，受知識條件限制，無法真正建立起兩者之間的聯系，形成的只是表象應用。六年級學完分數除法后，知道除法可以轉化成乘法計算，此時再次使用以上題組，引導學生通過縱向對比，借助分數乘、除法意義與乘法交換律應用，學生能突破思維，建立思維鏈接，完善認知結構。學生通過把除法轉化成乘法，很快發現轉化以后就是熟悉的乘法分配律應用，一下子變得豁然開朗。“12×5÷4=12×5×，12÷4×5=12××5，因為12×5× =12××5，所以12×5÷4=12÷4×5”，通過推理進行縱向對比，兩個看似不同的數學規律在思維深處找到了連接點。教師還可再向前“進一步”，提出（36+27）÷9=36÷9+27÷9“為什么可以這樣算？”“除法有分配律嗎？”應用聯系，學生將再一步借助意義轉化，認識到（36+27）÷9=（36+27）×=36× +27× =36÷9+27÷9，實現“形式—算理”的溝通，解構算理，理解靈活算法。通過對比，學生從更深層次把握了這類問題的核心，從思維層面實現了質的突破。

通過以上題組設計及練習教學展開，我們可以發現：在題組設計及實際教學中，注重橫向對比，有利于學生建構數學模型，理解外部表征，數學思維變得更加清晰;注重縱向對比，有利于學生溝通數學新認知與原有舊認知之間的聯系，找到核心問題深處的連接點，數學思維變得更加清晰可視。

三、注重評價反思，凸顯思維優化

題組設計與教學要注重評價反思環節，評價題組設計與實際的學習過程和學習結果，反思在題組練習后有哪些新的收獲，對這類數學問題有哪些新的認識，以此優化數學思維方式，促進思維水平的提高。學生通過自主的回顧、評價與反思，能生成主動優化思維的原動力，不斷完善思維方式，提升思維品質。

以蘇教版五年級下冊“列方程解決實際問題”的教學為例。學生一般都能在具體情境中體驗到：分析數量關系，建立等量關系，順向思維可以降低思維難度，能更準確地理解數量關系、分析問題、解決問題。但在解決數學實際問題的過程中，難免受逆向思維習慣的影響，或受書寫習慣的影響，有些用順向思維列方程很容易解決的問題，一些學生卻主動放棄，改用算術方法解答，結果出現一些錯誤。學生亟待突破原有思維方式和思維習慣，建立等量（價）關系思維，為后續學習提供方法支持。基于此，教師可借助題組練習反思，幫助學生優化數學思維。

題組4：

A.小軍有64張郵票，比小明郵票張數的2倍少22張，小明有多少張郵票？

B.小明有43張郵票，小軍比小明郵票張數的2倍少22張，小軍有多少張郵票？

教師采用嘗試練習的方式引入問題。

學生反饋A題有以下四種解法：

（1）64÷2-22

=32-22

=10（張）

（2）（64-22）÷2

=32÷2

=16（張）

（3）（64+22）÷2

=86÷2

=43（張）

（4）解：設小明有郵票x枚。2x-22=64

2x=64+22

2x=86

x=43

B題解法：

43×2-22

=86-22

=64（張）

組織練習活動時，先讓學生獨立分析數量關系，解答題組中的問題，再收集學生的學習結果，展開小組評價，最后引導全班評價反思，使學生的思維在評價反思中受到感染和震撼，體驗到選擇正確的思維方式是正確解決數學問題的關鍵因素。

1.對學習結果進行評價反思，優化數學思維

校驗A題時，部分學生一開始對方法（1）和（2）充滿信心，但當出現了不同的計算結果時則產生了一絲憂慮。此時教師引導學生小組評價成員的學習結果：“你認為誰的方法是對的？誰的方法是錯的？為什么？小組內先議一議。”學生在評價中體驗到，結果是否正確只要代入原題進行檢驗就可以。B題的計算正好可以驗證A題的計算結果是否正確，所以只有（3）和（4）是對的。教師還可以引導學生比較A題的解題方法，“算術方法與列方程解答哪種更容易分析數量關系？”學生通過對錯誤的反思，不難發現順向思維，找到等量（價）關系更能準確把握數量關系，用逆向思維理解數量關系，難度要比順向思維大。如此，通過對學習結果的自主評價與反思，學生在迷茫中找到了正確的數學思維方向，這種吃一塹長一智的體驗更為深刻。

2.對思維過程開展評價反思，改進學習方法

題組設計中還需要注重不同類型、方法的比較，促進學生生成新體驗。比如上例中，除了比較解題的思維方式，還可以比較同一思維方式的解題過程，以此提升學生的思維能力。在本題組中，首先教師可引導學生對比A題和B題解決問題的過程，進行反思：同樣采用算術方法，A題中（1）（2）方法錯在哪里？對你有什么啟示？通過反思，學生自然地聚焦到具體問題的解題方法及數量關系分析上，學生明確分析數量關系，需要正確理解并選擇問題中已知條件和所求問題的特征。其次，組織學生反思：A題與B題不同，怎么在分析數量關系時，都是“小明郵票張數×2-22=小軍郵票張數”呢，這里面有什么數學秘密？最后，組織學生反思：結合問題和我們以前解決問題的經驗，你覺得在問題解決中，會遇到怎樣的錯誤？你又有怎樣好的經驗可以與同學們分享。通過引導思考的方式啟發思維，引發學生在對比、反思和評價中體驗到，解決問題要根據題中的具體情境，選擇容易理解數量關系的思維方式來確定解題方法。

通過以上題組的設計與練習，教師引導學生對思維過程和學習結果進行評價反思，使學生體驗到思維方式的選擇決定數量關系理解的難易，決定對數量關系的理解是否正確，決定解題的方式，直接影響解題的正確率。學生在數學經驗的積累和分析中，體會優化數學思維的重要性。

在數學教學中，合理設計數學題組并展開教學，可以有效引導學生從整體上認知數學，在對比中把握問題的核心，在評價反思中優化思維。優秀的題組設計與練習，將大大提升學生對問題的數學實質的理解，提升學生對數學知識的掌握與應用，幫助學生形成整體結構、多元聯系的思維方式。

責任編輯：丁偉紅

Abstract： In mathematics teaching， question group design is based on the logical connection of similar or different question connotations， and teachers should elaborately design comparisons or relevant question groups to organize students learning， which tends to achieve twice the result with half the effort. Such design should attend to the holistic cognition and closely revolve around the key point of thinking， focus on horizontal and vertical comparisons and grasp the core breakthrough of questions， and attach importance to evaluation and reflection to highlight thinking optimization. Teaching practice shows that question group design and implementation oriented towards thinking development can greatly improve students understanding of question-mathematics essence and help them acquire and apply mathematics knowledge.

Key words： question group design; thinking experience; childrens mathematics