基于指數(shù)分布第K次序統(tǒng)計(jì)量試驗(yàn)壽命可靠性評(píng)估方法

牟園偉，陸 山

（1.中國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)研究院，北京101304；2.西北工業(yè)大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院，西安710072）

0 引言

建立合理和良好的定壽方法以確定發(fā)動(dòng)機(jī)零部件或系統(tǒng)壽命，是航空發(fā)動(dòng)機(jī)研制的迫切需要。以渦輪盤為例，從20世紀(jì)60年代起，逐漸發(fā)展驗(yàn)證了由全尺寸盤試驗(yàn)給出帶可靠度的預(yù)定安全壽命定壽方法[1-4]。不同的零部件或系統(tǒng)由于使用要求和故障模式的差異，其安全壽命定壽方法也有所不同[5-10]。壽命英國(guó)國(guó)防標(biāo)準(zhǔn)DEFSTAN 00-971[11]在假設(shè)壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的前提下，采用散度因子法處理試驗(yàn)壽命，給出了輪盤基于最差試件壽命、最好試件壽命和中位壽命的安全壽命，但僅限于壽命散度等于6，即對(duì)數(shù)壽命方差滓=0.13的特殊情形；文獻(xiàn)[12]給出了壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布、基于n個(gè)子樣中任意第k次序統(tǒng)計(jì)量的試驗(yàn)壽命分散系數(shù)計(jì)算公式；對(duì)于壽命分布服從威布爾分布的零件，美國(guó)空軍《航空渦噴渦扇渦軸渦槳發(fā)動(dòng)機(jī)通用規(guī)范》[13]中給出了零件可靠壽命零故障試驗(yàn)設(shè)計(jì)示例，其中用到置信度為90%時(shí)的2個(gè)壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)系數(shù)表。但相關(guān)文獻(xiàn)均未給出試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的理論公式及相應(yīng)系數(shù)表構(gòu)造方法。對(duì)此，文獻(xiàn)[14]解析該試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的理論公式和系數(shù)表構(gòu)造方法，并給出置信度95%時(shí)的2個(gè)壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)系數(shù)表。對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)或其電子器件，壽命近似服從指數(shù)分布，但還沒有文獻(xiàn)給出該類試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。

本文擬解析該試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的理論公式和系數(shù)表構(gòu)造方法，給出置信度為90%、95%時(shí)的2個(gè)壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)系數(shù)表，并給出采用該方法進(jìn)行壽命可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)算例。

1 基于指數(shù)分布第k次序統(tǒng)計(jì)量的壽命可靠性評(píng)估

假設(shè)壽命分布服從指數(shù)分布，試驗(yàn)壽命t的第k次序統(tǒng)計(jì)量 T（k）的分布函數(shù)[15]為

式中：Vn（t）為總體T作n次重復(fù)獨(dú)立觀測(cè)事件{T臆t}出現(xiàn)的次數(shù)。

次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)等于其分布函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)

在k=1和k=n時(shí)，分別是最小次序統(tǒng)計(jì)量T（1）和最大次序統(tǒng)計(jì)量T（n）。

某器件母體的故障時(shí)間分布服從指數(shù)分布

式中：姿為失效率。

設(shè)（T1，T2，…Tn）為取自母體的隨機(jī)樣本，n 為子樣數(shù)。將母體故障時(shí)間分布函數(shù)與k=1代入式（2）并積分得

將母體故障時(shí)間分布函數(shù)與k=2代入式（2）并積分得

采用數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)出第k次序統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)

令t酌為置信度1-酌時(shí)的單側(cè)置信限，可建立如下概率條件

由式（6）、（7）可得到基于第k故障試驗(yàn)壽命的可靠性評(píng)估通用公式。

當(dāng)k=1時(shí)

在已知置信度1-酌、樣本數(shù)n和失效率姿條件下，可得出第1個(gè)失效試件的失效時(shí)間下限

在t1時(shí)刻，n個(gè)樣本零故障；反之，已知試驗(yàn)時(shí)間、置信度和失效率也可求出所需試驗(yàn)樣本數(shù)

在已知置信度1-酌、樣本數(shù)n條件下，求得方程大于0小于1的根y2，可得出第2個(gè)失效器件故障時(shí)間下限

在t2時(shí)刻，n個(gè)樣本只發(fā)生1次故障。

2 可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)用系數(shù)表

根據(jù)式（9）、（10）計(jì)算得出零故障試驗(yàn)方案中置信度為90%時(shí)姿t1及樣本數(shù)n的系數(shù)，見表1、2。從表中可見，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中給出的相應(yīng)數(shù)據(jù)幾乎一致，說明本文所推導(dǎo)公式正確，可利用其編程計(jì)算零故障或小子樣故障可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)用系數(shù)。基于第k類故障的可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)用系數(shù)見表3、4。

表1 零故障（k=1）可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)用系數(shù)

表2 零故障（k=1）可靠壽命試驗(yàn)所需樣本數(shù)

表3 基于第k故障的可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)用系數(shù)姿tk（置信度為90%）

表4 基于第k故障的可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)用系數(shù)姿tk（置信度為95%）

3 可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)算例

算例1：已知某系統(tǒng)壽命分布服從指數(shù)分布，選定子樣數(shù)n=4，置信度1-酌=95%，系統(tǒng)在t=50 h時(shí)，可靠度R=99.9%，要求確定最短零故障試驗(yàn)時(shí)間。

壽命指數(shù)分布可靠度為

該系統(tǒng)壽命在50 h時(shí)，可靠度目標(biāo)是99.9%，即R（50）=99.9%。由式（14）解出對(duì)應(yīng)的失效率為2.001×10-5。由表4查得子樣數(shù)為4時(shí)，姿t1=0.749，t1=37431.3，第1個(gè)失效系統(tǒng)的失效時(shí)間下限為37431.3。因此，為了滿足50 h時(shí)可靠度R=99.9%，必須將4套系統(tǒng)試驗(yàn)到37431.3 h，而沒有1套系統(tǒng)發(fā)生故障，則試驗(yàn)通過。

算例2：已知某器件壽命分布為指數(shù)分布，子樣數(shù)為20，置信度為90%，失效數(shù)為5，試驗(yàn)時(shí)間為1000 h，求可靠度為99%時(shí)的器件壽命。

已知第6個(gè)失效器件的失效時(shí)間下限為1000 h，則t6=1000，由表3查得子樣數(shù)為20時(shí)，姿t6=0.536，姿=0.536×10-3，由式（14）得出可靠度為99%時(shí)的器件壽命為18.8 h。

算例3：已知某批器件壽命分布服從指數(shù)分布，子樣數(shù)為10，試驗(yàn)時(shí)間為10000 h，要求可靠度為99%，置信度為0.95的壽命為100 h，估計(jì)可以接受此批器件的故障數(shù)最大值。

已知R（100）=99%，由式（14）得出失效率為1.005×10-4，tk=10000，姿tk=1.005。由表 4 查得子樣數(shù)為 10 時(shí)，姿t4=0.933，姿t5=1.192，4

4 結(jié)論

（1）推導(dǎo)了壽命服從指數(shù)分布時(shí)，基于第k次序統(tǒng)計(jì)量的試驗(yàn)壽命可靠性理論計(jì)算公式。通過在給定參數(shù)下計(jì)算所得的結(jié)果與文獻(xiàn)[14]中的相應(yīng)值進(jìn)行比較，驗(yàn)證了計(jì)算公式的正確性，并通過算例說明了該公式在可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

（2）給出了置信度為90%、95%時(shí)基于第k次序統(tǒng)計(jì)量的可靠壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)評(píng)估表。在給定置信度、破壞數(shù)、可靠度、試驗(yàn)截止時(shí)間、樣本數(shù)的情況下，根據(jù)該評(píng)估表可確定試驗(yàn)對(duì)象的可靠壽命，也可以給定可靠壽命反推試驗(yàn)截止時(shí)間或者其故障數(shù)。綜合考慮試驗(yàn)件數(shù)量及試驗(yàn)時(shí)間，可對(duì)壽命可靠性試驗(yàn)進(jìn)行成本優(yōu)化設(shè)計(jì)。