排列組合問題的案例研究

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(天津市第一商業學校)

一、引言

數學的排列組合問題在高中階段數學課程中與函數、三角計算、數列等內容的知識關聯性不強，相對比較獨立，是學習概率問題的知識基礎和思維基礎。學生對排列組合問題的學習存在一定的抵觸和畏懼心理，原因在于其知識體系與實際生活結合緊密，基本上不存在套用公式及定式思維的內容，對學生分析推理問題能力、數學思維嚴密性及邏輯性要求比較高。因此，消除畏難情緒是提升學生對排列組合問題學習效果的重點工作，也是最大的難點。本文對排列組合問題涉列的題型進行了分析探究，形成案例，幫助學生找到內在的解題規律，提高學習興趣和學習氛圍。

二、案例研究

(一)站隊問題

案例一：7個人站成一隊，問：

1.共有多少種不同的站隊方法？

2.甲站中間，有多少種不同的站隊方法？

3.甲乙必須挨著，有多少種不同的站隊方法？

4.甲乙不能相鄰，有多少種不同的站隊方法？

5.甲必須站在乙的右側，有多少種不同的站隊方法？

分析過程：

解題小結：站隊問題為排列問題；有特殊要求的元素或者位置采用優限法，優先安排有要求的元素或位置，再安排其他元素；相鄰問題分兩步采用捆綁法，先進行整體排列，再局部排列；不相鄰問題分兩步采用插空法，先安排其他元素再把相鄰元素進行插空。

(二)數字問題

案例二：

1.用1、2、3、4、5可以組成多少個無重復數字的三位數？

2.用0、1、2、3、4可以組成多少個無重復數字的三位數？

3.用1、2、3、4、5可以組成多少個無重復數字的三位偶數？

4.用1、2、3、4、5可以組成多少個三位數？

分析過程：三位數的數位從高至低分別為百位、十位、個位。

解題小結：解決數字問題時要重點審題是否數字可以重復，無重復情況屬于排列問題，可重復情況數字個數不會減少；可選數字中含有0時，要注意0不能放在首位，一般有先考慮首位。

(三)產品問題

案例三：對某工廠生產產品進行檢驗，共100件，有2件次品，從中抽取3件，問：

1.共有多少種不同的抽取方法？

2.結果恰有1件次品的抽取方法有多少種？

3.結果至少有1件次品的抽取方法有多少種？

分析過程：100件產品含2件次品，則正品98件。

解題小結：抽取產品問題為組合問題，解題過程注意分步驟進行，此外在該類問題中至少、至多問題比較常見，如遇正向分析情況較多、計算任務較重，則采取逆向思維的方法，即用整體情況總數減去不符合事件的情況數。與產品問題相同的還有派人問題、摸球問題等。

(四)投信問題

案例四：

1.要求把4封信郵寄出去，郵局有3個信箱，問：有多少種不同的投遞方式？

2.學校安排5名實習生做畢業實習，共有4家實習單位可供選擇，問：有多少種不同的安排方式？

3.有3名學生，假設按照365天計算，問：有多少種不同的過生日的日期方式？

分析過程：

解題小結：投信問題具有典型的代表性，屬于可重復選擇使用的問題，此類問題在解決過程中需要注意事件的對象是誰，按照事件的核心對象進行分步研究。與投信問題相同的問題還有旅店入住問題、過生日問題及編制電話號碼問題等。

(五)分配問題

案例五：

1.把5本不同的書分給5個學生，每人一本，問：有多少種不同的分配方案？

2.把5本不同的書分給4個學生，每人至少一本，問：有多少種不同的分配方案？

分析過程：

另外，還有其他案例問題，在此不再贅述。

三、結束語

學生解排列組合問題過程中經常出現的錯誤情況有兩個：一是對于“排列”與“組合”不能很好地區分，解題中出現混淆；二是數學解題與現實常規操作的差異性不能很好地把握，解題中出現“遺漏”和“重復”現象。筆者只是歸納了部分排列組合問題的案例，構建了引領式的案例解題模式，排列組合問題的應用還很廣泛，解題思路靈活多變，本文不可能涵蓋全面，通過案例研究希望幫助學生形成嚴密的數學思維、培養理論聯系實際解決問題的能力、促進全面發展。