柳卡問題新解

法國數學家柳卡·施斗姆生于瑞士，因數學上的成就，于1836年當選為法國科學院院士。他對射影幾何與微分幾何都做出了重要貢獻。在某次國際科學會議期間，一次有許多著名數學家參加的晚宴上，柳卡突然向在場的人們提出了如下被他稱之為最困難的題目——人們稱它為“柳卡趣題”。

每天中午有一艘輪船從法國巴黎的勒阿佛爾開往美國的紐約且每天同一時間也有一艘輪船從紐約開往勒阿佛爾。輪船在途中都需要七天七夜。假定所有的輪船都以同速勻速、同一航線行駛，問今天中午從勒阿佛爾開出的輪船，在到達紐約時，能遇到幾艘從紐約開來的輪船？

它難倒了在場的所有數學家，連柳卡本人也沒有徹底解決。后來有一位數學家通過下面的圖解法，才使問題最終得到解決。

解：在平面tox上，ot軸代表時間，ox軸代表位置，用兩條橫線分別表示勒阿佛爾港和紐約港，畫出它們的時間——位置曲線（如下圖）。從勒阿佛爾開出的輪船的時間-位置曲線用實線表示，從紐約開出的輪船的時間-位置曲線用虛線表示。因為實線與虛線相交15次，所以這艘輪船將遇到15艘輪船。從圖中可以看出，有1艘是在出發時遇到（從紐約剛到達勒阿佛爾），1艘是到達紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇;另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜。

上面采用圖解法給我們的印象非常直觀形象，但有一個缺點是：假如再給出一道甚至是幾道類似題目，在很短的時間內去完成作圖是相當麻煩的。到底能不能用代數方法解決呢？

由此我得出了一個公式（我稱為“柳卡公式”），來計算相遇的次數和相遇時間。規定[X]表示X的整數部分。如圖：A、B兩地之間的距離用S來表示，從A發出的船速用VA表示，從B發出的船速用VB表示，發船間隔時間用T表示，問從A出發的船到B 的過程中，將碰到多少只從B出發的船？每次相遇時從A出發的船所用時間為多少？（說明：題意同柳卡問題類似，有些地方介紹得不夠詳細）

設相遇次數為N，第n次相遇時從A出發的船離開A的時間為t。

作者簡介：蓋景偉（1973.9—），男，漢族，山東省東營市人，本科，初中數學教師。

編輯 劉瑞彬