關注二次函數，考題突破分析

陸青

[摘? 要] 二次函數是初中數學的重點內容，在中考中通常以綜合題的形式出現，深刻領悟考題的突破思路，掌握解題的具體策略是提高解題效率的關鍵，文章以一道二次函數綜合題為題，剖析解題思路，總結解題方法，提出相應的解題建議.

[關鍵詞] 二次函數;考題;解析式;最值;存在性

考題呈現

考題? 如圖1所示，已知直線l的解析式為y=-x+3，與坐標系的x軸和y軸分別交于點B和C，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，經過點A，B和C，其中點A的坐標為（1，0），回答下列問題.

（1）試求拋物線的解析式;

（2）如果點M是拋物線x軸下方的一個動點，現過點M作MN∥y軸，與直線BC相交于點N，試求線段MN的最大值;

（3）在問題（2）所述條件成立的情況下，分析線段MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PBN是以BN為腰的等腰三角形，若存在請求出點P的具體坐標，若不存在，請說明理由.

思路突破

本題目主要考查二次函數的相關知識，分為三個小問，可以依據題目分三步開展解題突破，下面給出每一步的思路分析及對應的簡解.

第一步：巧構方程組，突破解析式

該問求解拋物線的解析式，一般的思路是先設出拋物線的解析式，然后依據已知條件，將已知點的坐標代入解析式，從而構建方程組，通過解方程組的方式求得解析式的系數. 審題可知：已知拋物線上點A的坐標，因此還需要求得其他兩個點的坐標才能構建求解全部系數的三元一次方程組. 分析可知直線l：y=-x+3與拋物線有兩個交點，并且兩個交點分別位于坐標系的x軸和y軸上，因此可以通過令x=0和y=0的方式代入直線方程來求解點B和點C的坐標，進而完成三元一次方程組的構建.

（1）解：對于直線l的解析式y=-x+3，令x=0，解得y=3，則點C的坐標為（0，3），再令y=0，解得x=3，則點B的坐標為（3，0）. 因為A，B，C三點均在拋物線上，故必然滿足解析式y=ax2+bx+c，分別將三點的坐標代入其中，可得三元一次方程組a+b+c=0，

9a+3b+c=0，

c=3， 解得a=1，b=-4，c=3，所以拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

第二步：構建解析方程，突破線段最值

該問求動點問題中的線段最值，在初中階段，利用所學知識求解最值問題有以下幾種方式：①利用非負性求最值;②利用函數的單調性求最值;③利用二次函數的頂點來求解最值. 在該問中，我們已知MN∥y軸，其隱含深意是點M和N的橫坐標值是一致的，即x=x. 因需求線段MN的最大值，就可以將MN的長度直接表示為點N的縱坐標減去點M的縱坐標，即MN=y-y. 整理后發現該式為一個二次函數，因此可以通過分析二次函數性質的方式獲得最值的情形. 因此該思路構建的關鍵點有兩個：一是設出點M的坐標，并構建與之關聯的點N的坐標;二是確定坐標關鍵系數的取值范圍，為后續二次函數的值域分析作鋪墊.

（2）解：設點M的坐標為（m，m2-4m+3），又因直線BC的解析式為y=-x+3，MN∥y軸，x=x，所以點N的坐標為（m，-m+3），點B和C位于拋物線上，點M為拋物線x軸下方一個動點，所以m的取值范圍為1

MN

=-m+3-（m2-4m+3）= -

m-2+，該式為MN關于m的開口向下的拋物線，分析可知當m=時，線段MN的長度取得最大值，且最大值為.

第三步：分類探討情形，突破存在性問題

該小問為本考題的難度最大之問，具有一定的拓展性，屬于壓軸題中常見的“存在性問題”，對于該問我們可以采用如下處理方式：首先假設存在這樣一點使得各條件均滿足，然后利用該條件去驗證，如果能求出，就表明假設成立，如果有矛盾，則表明不存在，假設錯誤.

在第（2）小問條件成立的情形下可以確定點N和M的坐標，問題分析在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，可知點P的橫坐標數值，從而可假設出點P的坐標，題目要求使得△PBN是以BN為腰的等腰三角形，其中隱含著等腰三角形頂點討論問題，即存在頂點為B和N兩種情形，可采用分類討論的方式加以確認分析.

知識歸納

上述是典型的以直線與拋物線相綜合的函數問題，考題的三個小問分別涉及函數解析式的求解、線段的最值分析以及函數問題中等腰三角形存在性的討論. 其中的分析思路和解題方法具有一定的指導意義，下面對其總結歸納.

1. 確定二次函數的解析式

總體來看，可以將考題第（1）問歸結為利用一般式求解二次函數的解析式，其本質還是求解解析式中的待定系數，通常情況可以按照如下步驟進行：首先將一般式設為y=ax2+bx+c，其中a≠0，待定系數的個數決定了需要求得曲線上點的個數;然后將點的坐標或對應值代入上述一般式，從而構建出相應的方程組，代入兩個點構建的就是二元一次方程組，代入三個點就是三元一次方程組;獲得相應的系數值后，只需要將其代入所設一般式即可獲得二次函數的解析式.

2. 分析二次函數中的最值

函數中的最值問題具有多種類型，求線段的最值只是其中最常見的一種，上述第（2）問所采用的是構造函數的方法，即構造關于線段的函數模型. 我們知道數學上的函數模型是一種強大的解題工具，其性質不僅可以分析單調性問題，繪制相應的圖像，還可以求解最值問題. 在解題時我們可以利用條件構造出相應的函數模型，然后研究函數模型的性質，包括其單調性和值域，從而獲得定義域下的合理取值. 而另一種分析最值的方法為線段公理法，該方法相對較為簡潔，即利用公理“兩定點之間，線段最短”或公理“垂線段最短”，解題時只需要基于相應的幾何知識直接求解滿足情形的最值點即可.

3. 討論函數與幾何存在性

考題的第（3）問求解二次函數中等腰三角形存在性的問題，屬于函數與幾何相結合的綜合問題. 求解該類問題最為有效的策略是構造方程，同時輔助構圖的方式，該策略的特點是問題分析直觀明了，計算討論精確簡捷. 函數中等腰三角形存在性問題需首要分析的是三角形的等腰情形，確定等長線段，對于不明情形可以采用分類討論的方式，即假設其頂點，借助尺規作圖， 分別確定滿足情形的底邊上的點，而在求解點的坐標時可以考慮結合等腰三角形腰相等的性質，構建相應的方程，通過解方程求值.

教學建議

1. 關注考題的思路講解

中考對于二次函數的考查通常以綜合題的形式出現，相對較為復雜，在解題時除了需要具備扎實的基礎知識外，還需要掌握一定的解題技巧和思路. 如上述考題第（2）問分析線段長的最值，設出點的坐標，構建關于線段長的二次函數，然后利用二次函數的性質來加以分析. 而第（3）問分析等腰三角形存在性的問題，采用分類討論的方式，首先確定等腰三角形的頂點，然后基于其性質構建相應的代數方程，通過解方程求解. 因此，教師應將解題思路的講解作為重要任務，引導學生明晰解題思路，掌握具體的解題步驟，形成自我的解題策略.

2. 滲透考題的解題思想

初中數學的解題分析實際上是在解題思想的指導下進行的，即運用相應的數學思想來完成解題思路的構建. 如上述考題在解題時除數形結合思想外，還運用了方程思想、構建思想. 即運用思想方法，構建相應的數學模型，通過分析模型的性質來達到突破解題的目的. 考慮到數學的思想方法理解上較為抽象，在實際教學中應借助具體的內容來逐步滲透，引導學生掌握運用思想方法解題的技巧和步驟，深刻體會思想方法在解題中的便利性，逐步提升學生的解題思維，促進學生綜合素養的發展.