如何處理數學教學中的難點

陸世雄

[摘? 要] 教師可以“由‘社會實踐出發，降低難點的難度”“由‘異同點出發，構造處理難點的一般途徑”“‘階梯式教學分散教學難點”等，有效、透徹地處理好難點問題，提升學生分析問題和解決問題的能力，從而提升學生的數學素養[1].

[關鍵詞] 數學難點;社會實踐;階梯式;思維定式

數學教學中所謂的“難點”，指引發學生的學習困頓，無法更好地理解和運用的知識點;也是教師教學過程中致力于破解的教學重心;更是引發學生學習成績差距的根本. 處理好數學教學中的難點，一方面可以提升學生的數學思維水平，啟迪學生的智慧，引導學生在知識學習的基礎上，越站越高，越走越遠;另一方面，也是對教師教學水平的檢測和錘煉. 那么，在數學教學中，教師應如何理性、透徹、有效地處理好難點呢？下面，筆者借助自身的教學與實踐，談一點思考.

由“社會實踐”出發，降低難點的難度

數學源于生活，又高于生活. 數學由于自身的學科特點，知識上體現出了抽象化的特征，學生的想象力容易被這種抽象化的知識所限制，無法生成理解. 因此，教師在數學教學過程中，應適時地選擇一些生活中的實例，將抽象的數學知識具體化，引導學生在親歷中感悟知識.

比如，筆者在教學“平面直角坐標系”這一內容時，先將學生的座位行數和列數按照一定的順序進行編號，之后引導學生觀察并思考：

（1）某某學生的位置在第幾行、第幾列？

（2）位置在第5行、第3列的學生是誰？

（3）平面直角坐標系是如何建立的？

（4）平面直角坐標系上的點該如何使用坐標表示呢？

（5）能否說說直角坐標系內的點和它的坐標是哪種對應關系？

（6）如何根據點的坐標去確定點的位置？

數學家笛卡兒當年也是借助天花板上的蜘蛛產生靈感，進而創立了“平面直角坐標系”. 筆者借助一系列問題情境，引導學生進行梯度思考：問題（3）作為以上“問題串”的難點，借助了問題（1）（2）的鋪墊，并在問題（4）（5）（6）中更好地實現應用價值[2]. 學生在實驗和討論中，更好地內化了知識技能，實現了知識的自然生長，培育了數學素養.

由“異同點”出發，構造處理難點的一般途徑

課堂教學中，一些知識點較易混淆，教學難度大，教師應予以重視，并引導學生進行深度剖析，找出知識點之間的異同，進而透徹理解其本質，促進思維發展，建構知識體系.

例如，區分an與-an，（-a）n與-（-a）n時，需看清底數、底數的符號以及冪的符號. 再如，教師可以將四種銳角三角函數的概念進行歸納、整合，之后引導學生總結其共性：

（1）它們的條件創設一致，都為直角三角形;

（2）其中“弦”為直角邊與斜邊的比，“切”為直角邊與直角邊的比;

（3）所謂的“正”就是角的對邊為分子，所謂的“余”就是角的鄰邊為分子;

（4）正弦值和余弦值均在0～1之間，正切值和余切值需大于0，可以比1大;

（5）角是自變量，比值則為因變量.

教師通過對知識點的對比分析，在充分理清混淆點的基礎上，分析其中蘊含的豐富關系，能加深對知識的深入理解，進而實現知識的自然生長，促進學生的思維品質.

“階梯式”教學分散教學難點

在數學課堂教學中，教師可基于學生的已有知識結構，創設低起點、高立意的目標習題，階梯式地由淺入深、層層推進. 這樣能讓學生在教師精心創設的“階梯式”教學環節中，逐級攀登. 筆者認為，學好數學的竅門在于學會“退級”，退回到問題的本質.

例如，教材中“二次函數的圖像和性質”這一內容，在編排上就遵循了從特殊的“y=ax2（a≠0）”“y=ax2+k（a≠0）”“y=a（x-h）2+k（a≠0）”到一般的“y=ax2+bx+c（a≠0）”的基本規律. 再如，“幸運數碼”問題——已知一串連續的自然數：1，2，3，…，n-1，n，將其按照從大到小的順序按照順時針的方向圍成一個圓，先將數字1去掉，之后間隔數學2再去掉數字3……以此類推，每隔一個數字便去掉下面的一個數字，求出最后唯一僅存下來的幸運數碼是幾. 若n=2k，那么幸運數碼為2k;若n=2k+p，那么幸運數碼為2p，也就是2（n-2k）. 此題看似深不可測，實則盡顯由特殊到一般的思維策略.

借助“類比”，突破思維難點困境

專家曾經說過：當理智在沒有可靠論證思路的情況下，我們可以借助“類比”奮力前行. 數學知識是融會貫通的整體. 教師在教學中，可以引導學生通過知識的引申、相似、相逆等諸多方面來探究類比，從而進行推理. 在初中數學課堂教學中，借助類比剖析難點，成功解決難題的例子數不甚數. 比如，可以利用“三角形的中位線定理”來類比“梯形的中位線定理”;利用“平面三角形”來類比“空間四面體”;利用“三角形的面積公式”來類比“扇形、圓的面積公式”等. 當然，類比的絕對可靠性還有待考證，其優勢主要體現在可以提升學生的自主探究意識，能培養學生的創造性上面，進而突破難點困境，提高有效性.

顯露“思維定式”，剖析難點

在解題中，學生往往會被基本形式規律的永恒性所左右，也就是所謂的“思維定式”，進而出現一些自以為是的思路. 此時，教師可以借助問題情境的參與，防患于未然，將錯誤展露給學生，讓學生生成感悟，深度剖析問題本質，找出癥結，引導學生建構正確的認知生長點，準確剖析難點，激發思維結構的自然發展.

例如，筆者在教學“完全平方公式”這一內容的過程中，創設了以下問題情境：有一個發奮善思的學生，他的名字叫馬虎，他從（ab）2=a2b2，

2=中猜想出（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2. 你認為他的猜想正確嗎？請填寫表1和表2進行驗證.

[表1][a b （a+b）2 a2+b2 兩者之差 3 6 81 45 5 8 169 89 ][a b （a-b）2 a2-b2

（a2+b2） 兩者之差 3 1 4 8（10） 5 2 9 21（29） ][表2]

在填表的過程中，學生頓悟出這名馬虎同學真是名副其實的馬虎，他的猜想也僅僅是他自以為是的想法，引發了學生們的認知沖突. 當然，有時候錯誤是通向成功的小徑，教師需借助這種共性錯誤引發學生思考，進而使之轉化為教學素材，引導學生生成感悟. 筆者適時追問：“那我們思考一下兩者之差和a，b是否存在關聯，又是什么聯系.”學生經過自主探究、深入觀察，而后總結、歸納出：“差值剛好為a，b乘積的2倍. ”由此得出深度猜想（a±b）2=a2±2ab+b2. 此時筆者順水推舟，根據乘方含義及多項式法則寫出了如下式子：

（a+b）2=（a+b）（? ? ）=a2+（? ? ）+b2;

（a-b）2=（a-b）（? ? ）=a2+（? ? ）+b2.

以上案例，在外顯思維定式中，深度剖析錯誤，引導學生建構正確的認知生長點，感悟新知識，最后進行深度強化，并借助法則和定義進行驗證. 實踐證明，這種獨特的教學過程創設，教學效果顯著. 通過這樣的情境創設，學生丟中間項的錯誤明顯減少.

借助教法，分散、融通難點

數學中，有些難點知識尤為重要，教師應基于學生的認知規律，運用各種教學方法，多方位、多角度、各領域地集中分散、融通難點，進而解決難點問題.

例如，筆者在教學“不等式的基本性質3”這一內容時，首先安排了一個課時去引導學生從具體數字到字母，借助數軸、相反數和有理數比較大小等知識來找尋規律，并總結歸納. 而后借助杠桿實驗強化驗證（如圖1和圖2）.

改變力的方向也就是相反意義的量，它的數學含義是同時乘“-1”，之后觀察杠桿傾斜的方向是否發生改變. 事實上，“不等式的基本性質3”并非以一個孤立的命題形式而存在，依據“不等式的基本性質1”進行演繹推導，可得“不等式的基本性質3”，其可以幫助學生理性認識“不等式的基本性質3”，進而生成感悟——“不等號的方向需改變”.

例題已知x>a，求證：-x<-a.

證明因為x>a，即a

總之，對于數學中難點問題的處理，不是一朝一夕就能實現的，需要數學教師持之以恒的堅持，低起點，高立意，從具體走向抽象，從感性認識走向理性認識，借助多種教學手段，培養學生的挑戰性和創造性，使學生的數學思維逐步深入和提升.

參考文獻：

[1]李樹臣. 論形成和發展數學能力的兩個根本途徑[J]. 中學數學教學參考，2002（9）.

[2]林俊偉. 數學課堂中的問題設置[J]. 中國數學教育，2011（z1）.