基于小波包—VBICA 的欠定盲源分離方法研究

楊曉飛，李志農(nóng)，何 況

（南昌航空大學(xué)無損檢測技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌 330063）

0 引言

當(dāng)機(jī)械設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)，人們并不知道故障是由哪個(gè)部件產(chǎn)生的，以及是一個(gè)部件出現(xiàn)問題還是多個(gè)部件出現(xiàn)問題。也就是說故障源是不知道的，還有可能是隨時(shí)間而變化的。通常，人們會(huì)選擇安裝多個(gè)傳感器去捕捉更多的故障信息。由于，機(jī)械結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，傳感器的安裝受到限制，不能任意增加傳感器的數(shù)目。于是，對(duì)欠定盲源分離問題進(jìn)行探討才更有現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)于這一問題，各國學(xué)者提出了不同的方法來解決這一難題。文獻(xiàn)[1]采用了稀疏表示的方法，先采用外部優(yōu)化的方法估計(jì)出混合矩陣，然后用線性規(guī)劃法對(duì)混合故障信號(hào)進(jìn)行分離。然而，運(yùn)算量太大不能用于實(shí)際工程中。文獻(xiàn)[2]將LMD 算法與盲源分離方法相結(jié)合，用于解決旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障盲源分離問題。但LMDBSS 方法在實(shí)際的噪聲環(huán)境下分離效果并不是很好。文獻(xiàn)[3-6]也提出許多改進(jìn)算法來實(shí)現(xiàn)欠定條件下的盲源分離問題。但這些方法都忽略噪聲對(duì)觀測信號(hào)的影響，實(shí)際情況下，不可避免會(huì)受到噪聲的影響。

為了解決上述方法的不足，本文充分考慮小波包分解算法的優(yōu)點(diǎn)和變分貝葉斯獨(dú)立分量分析的優(yōu)勢(shì)，提出了基于小波包分解和VBICA 的欠定盲源分離方法。通過實(shí)驗(yàn)證明所提算法對(duì)處理噪聲環(huán)境下的欠定盲源分離問題具有很好的效果，可以在實(shí)際工程中應(yīng)用。

1 小波包理論

小波變換是一種有效的譜分析工具，能夠?qū)⒂杏玫奶卣餍畔男盘?hào)中提取出來，是一種常用的信號(hào)處理方法。在小波分析出現(xiàn)之前，傅里葉變換常被用在對(duì)信號(hào)的處理中，它可以在頻域里發(fā)掘信號(hào)中的關(guān)鍵信息。但是，在時(shí)域上進(jìn)行信號(hào)處理時(shí)，效果卻不是很好。而小波變換不僅能對(duì)時(shí)域中信號(hào)進(jìn)行分析，還能對(duì)頻域中的信號(hào)進(jìn)行分析。然而，小波分解也有其不足之處，它僅對(duì)信號(hào)的低頻分量分解具有明顯的效果，相對(duì)高頻分量而言，其分解效果并不是很好。但是，小波包分解對(duì)低頻分量的分解以及高頻分量的分解都能夠起到很好的效果，可以同時(shí)得到低頻分量和高頻分量，是一種很好的信號(hào)處理方法。

設(shè)φx和ψx分別為尺度函數(shù)和小波函數(shù)，令ψ0（x）=φ（x），ψ1（x）=ψ（x），則

將函數(shù){ψn}定義為尺度函數(shù)φx的小波包。小波包分解能將源信號(hào)分解成在不同頻段上的投影。

對(duì)觀測信號(hào)進(jìn)行分解后，還要選擇合適的代價(jià)函數(shù)來滿足最優(yōu)解，下面是一些常用的代價(jià)函數(shù)：

（1）提前給出確定的門限值，保留數(shù)列中絕對(duì)值大于門限值的元素。

2 小波包—變分貝葉斯獨(dú)立分量盲源分離方法

假設(shè)有一個(gè)含有相關(guān)源的L 維源信號(hào)s（t）=[s1，s2，…，sL]T，A為M×L 維隨機(jī)產(chǎn)生的混合矩陣，x（t）為M 維觀測信號(hào)，N（t）為M 維的噪聲信號(hào)，那么，WP-VBICA 算法分離的模型可以表示成下面形式。

觀測信號(hào)x（t）不可以直接用ICA 算法或者VBICA 算法進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)镮CA 算法在噪聲環(huán)境下的分離效果不是很理想。由于源信號(hào)s（t）含有相關(guān)源，因而，混合后的觀測信號(hào)也肯定包含一定的相關(guān)源成分。ICA 算法的前提條件就是源信號(hào)中的各個(gè)分量必須要滿足獨(dú)立，故直接用ICA 算法分離必然是行不通的。雖然，VBICA 算法能在噪聲環(huán)境下將源信號(hào)分離出，但對(duì)于含有相關(guān)源的觀測信號(hào)同樣也無法直接處理。因此，在進(jìn)行盲源分離前，必須保證觀測信號(hào)x（t）的分量之間相互獨(dú)立。

本文先利用小波包分解解決相關(guān)源問題，將其轉(zhuǎn)化為非欠定情況，然后再運(yùn)用VBICA 算法來分離重組后的信號(hào)，算法的具體步驟如下。

（1）采用小波包對(duì)觀測信號(hào)x（t）分解為N 層，得到Y(jié)（Y=）個(gè)子帶信號(hào)。

（2）假設(shè)將觀測信號(hào)x（t）分解成3 層，將會(huì)得到14 個(gè)子帶信號(hào)。若觀測信號(hào)x（t）為一個(gè)3 維觀測信號(hào)，將會(huì)得到52 個(gè)子帶信號(hào)。3 個(gè)子帶信號(hào)歸為一組[例如3 個(gè)分量中的第一層節(jié)點(diǎn)（1，0）]。

（3）計(jì)算這14 組子帶信號(hào)間的互信息量。通常分解到哪一層，就僅僅計(jì)算那一層的子帶信號(hào)間的互信息量，層數(shù)越高，互信息量值就會(huì)越小。但是，隨著分解層數(shù)的增加，整個(gè)算法的計(jì)算量也會(huì)增大，所以層數(shù)的選擇要符合實(shí)際需求。否則，會(huì)大大增加計(jì)算量。

（4）選擇保留互信息量小于選定的閾值的k 個(gè)子帶信號(hào)，重組后的觀測信號(hào)xc可以通過式（4）計(jì)算。

（5）對(duì)重組后的觀測信號(hào)xc，借助VBICA[7]算法較好的分離效果進(jìn)行分離。

3 實(shí)驗(yàn)研究

通過對(duì)軸承故障信號(hào)進(jìn)行盲源分離，來對(duì)所提算法的可行性加以驗(yàn)證。在實(shí)驗(yàn)過程中，將電機(jī)的轉(zhuǎn)速設(shè)定為1750 r/min，由計(jì)算可以得到對(duì)應(yīng)的軸承基頻fr為29.17 Hz。利用電火花加工技術(shù)在軸承的內(nèi)、外圈滾道中央位置制造點(diǎn)蝕缺陷。可由軸承的數(shù)據(jù)參數(shù)計(jì)算出內(nèi)、外圈的故障特征頻率，內(nèi)圈故障頻率為157.5 Hz，外圈為105 Hz。

設(shè)定實(shí)驗(yàn)采樣頻率為120 00 Hz，選取所采樣信號(hào)的512個(gè)點(diǎn)進(jìn)行處理，得到的觀測信號(hào)如圖1 所示。圖1 為混合故障信號(hào)的時(shí)域波形圖，從圖中可以看出兩個(gè)源信號(hào)完全相互干擾在一起，無法看出故障特征。

現(xiàn)在，用本文所提出的基于小波包—VBICA 的欠定盲源分離方法進(jìn)行分離。圖2 和圖3 分別是分離信號(hào)的時(shí)域波形圖和幅值譜。從圖3 中可以看出峰值點(diǎn)的頻率為158.2 Hz，接近于內(nèi)圈理論故障特征頻率，在頻率29.3 Hz 處也可以看到一個(gè)小的峰值，對(duì)應(yīng)著轉(zhuǎn)軸的基頻。因此，說明軸承內(nèi)圈出現(xiàn)了故障。同樣，頻率為105.2 Hz 時(shí)對(duì)應(yīng)的峰值最大，接近于外圈理論故障頻率，因此，也能說明軸承外圈出現(xiàn)了故障。于是，通過以上分析，可以證明所提方法能有效對(duì)軸承故障做出判斷。

圖1 觀測信號(hào)

圖2 分離信號(hào)時(shí)域波形

圖3 分離信號(hào)幅值譜

4 結(jié)論

由于在欠定條件下，傳統(tǒng)盲源分離方法很難在噪聲環(huán)境下對(duì)觀測信號(hào)成功進(jìn)行分離。于是，本文提出基于小波包分解和VBICA 算法的欠定盲源分離方法，可以用于噪聲環(huán)境下的欠定盲源分離問題。通過實(shí)驗(yàn)，成功對(duì)軸承故障信號(hào)進(jìn)行分離，驗(yàn)證了所提算法的可行性。