人教B選修2-3 1.1.3二項式定理（一）教學設計

王園園

一、教學設計

（1）教學內容解析。二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎.這部分知識具有較高應用價值和思維訓練價值.中學教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數的性質等。

通過二項式定理的學習應該讓學生掌握有關知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧;進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用;重視學生正確情感、態度和世界觀的培養和形成.

二項式定理本身是教學重點，因為它是后面一切結果的基礎.通項公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠，所以也應該是重點。

二項式定理的證明是一個教學難點.這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當地運用組合數的性。需要用到不太熟悉的數學歸納法。

（2）學生學情分析。二項式定理是初中學習的多項式乘法的繼續，它所研究的是一類特殊的多項式，表現為二項式的乘方的展開式，也是解決某些整除、近似計算等問題的重要方法之一。學生在初中是以多項式的乘法展開為載體，從具體式子感知多項式的展開。學生進入高中一年多的數學學習后，在數學符號化、公理化、抽象化等方面得到了有效的鍛煉，邏輯推理能力、轉化與化歸等數學思想方法得到了訓練，特別是，前一節學習了計數原理后，對該節課推導二項式定理奠定了基礎。從學生現階段的思維特點分析，大部分學生解決展開式采用的是的不完全歸納法（猜想），與初中學習的多項式的展開結合起來，從的展開式的形式特點等方面進行類比，教師可以因勢利導，讓學生體會從一般到特殊的數學思想方法。然而，無窮大時，能保證展開式恒成立嗎？

（3）教學策略分析。在教學中，努力把表現的機會讓給學生，以發揮他們的自主精神;盡量創造讓學生活動的機會，以讓學生在直接體驗中建構自己的知識體系;盡量引導學生的發展和創造意識，以使他們能在再創造的氛圍中學習.

（4）教學目標設置。知識與技能：①理解并掌握二項式定理，能利組合思想證明二項式定理;②能利用通項公式求某一項的系數。

過程與方法：通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式。

情感、態度與價值觀：培養學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹。

教學重點：用計數原理分析、的展開式，推導二項式定理。

教學難點：利用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式形成單項式之和時各項系數的規律。

二、教學過程

（1）創設問題情境，因疑惑而激趣

教師：請同學們計算下面兩個題：?

教師：請同學們計算：

觀察學生反應

教師板書：二項式定理：

【設計意圖】從學生的認知水平出發設置問題情境，在困惑中激發學生思考解決問題方法，讓多數學生能動手動腦，不僅能激發學生學習數學的興趣，更是調動學生學習新知識的積極性。數學不是冰冷的美麗，她是來自現實的火熱思考。問題情境中滲透數學史，且緊扣本節課的主題與重點。

（2）親身體驗，探索新知

教師：就是四個相乘，剛才求得的展開式是這樣的：。

請思考問題：①展開式中各種類型的項是如何得到的？②展開式中各項的系數是如何確定的？

學生：分步計數原理：第一步，第一次取有兩種不同的方法;第二步，第二次取有兩種不同的方法，共四步，共有項。

【設計意圖】教師確定研究方向后讓學生自主探究，留給學生足夠的時間和空間，讓學生回憶計數原理。

教師提示：是2個相乘，根據多項式乘法法則，每個再相乘時有兩種選擇，選或選，而且每個中的或都選定后，才能得到展開式的一項。于是，由分步乘法原理，再合并同類項之前，的展開式有4項，而且每一項都是的形式。

每個都不取的情況有1種，即，即前的系數為;恰有1個取的情況有2種，即，即前的系數為;恰有2個取的情況有1種，即，即前的系數為;因此，

【設計意圖】預設當學生思維遇阻時，降低難度，讓學困生體會展開式的項及其各項系數的由來;引導學生用計數原理進行再思考，分析各項以及項的個數，這也為推導的展開式提供了方法，使學生在后續的探究“法”。

（3）合作探究，總結規律

【設計意圖】通過小組合作學習，加強師生、生生之間的交流。充分體現教師主導學生主體地位，學生深層次的參考與到課堂學習，成為課堂的主人，加深對所得結論的理解，培養學生自主、合作、交流的能力;讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，做到呂傳漢教授提出的“教思考、教體驗、教表達”。

【問題】各二項式系數之和是多少？即

【教師點撥】

（1）將二項式定理左邊、都賦值為1，得

（2）二項式定理給出了一個恒等式，即對兩項、的一切取值都成立，因此對其特殊值也成立，賦值法是解決與二項展開式系數有關問題的重要手段。在二項式定理中令，那么二項式定理變成一個關于的函數。所有各項系數和就是。

【設計意圖】適當拔高，給學生提供思考的空間，好的數學問題能點燃學生的激情，好奇心總能激發學生有效參與課堂學習。

4.典型例題分析

五、教學反思

數學學習是教師引導下的“再創造”，而“再創造” 的本質是學困之時、疑難之處為學生搭建好合適的“腳手架”.本節課的教學難點是如何把二項式展開從多項式乘法中脫胎出來，自然地與計數原理、排列組合知識建立聯系。執教者采用“先特殊后一般”、“先低次后高次”、“先局部后整體”的探究策略，以研究“中項的系數為什么是4”為出發點，以語言、圖形、文字等3個不同感知為著眼點，啟發引導建立“取數模型”，讓學生感受“用組合來研究二項式展開”的體驗。