速度分解問(wèn)題的典例分析

李軼

[摘 要：涉及到繩子的連接體速度的合成與分解問(wèn)題在中學(xué)里經(jīng)常遇到，這類(lèi)問(wèn)題的分解與合成往往比較困難，學(xué)生難以理解和掌握，為了幫助學(xué)生理解該類(lèi)問(wèn)題的處理方法，筆者采用“求導(dǎo)法”、“微元法”，“按實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果分解”來(lái)全面剖析這類(lèi)問(wèn)題的處理方法，并通過(guò)經(jīng)典例題對(duì)其加以說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：求導(dǎo)法；微元法；速度的分解]

在連接物體速度的合成與分解問(wèn)題中，筆者們經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)物體通過(guò)一根繩子跨過(guò)定滑輪連接在一起時(shí)，已知一個(gè)物體的速度，求解某一條件下另一物體的速度的模型。對(duì)于這樣的問(wèn)題，筆者通常使用“微元法”和“速度分解法”進(jìn)行求解。如下題是繩端速度分解的一個(gè)十分常見(jiàn)的例題。筆者將用多種方法來(lái)全面解析這種模型，力圖使學(xué)生能更好、更全面的理解這類(lèi)模型的處理方法。

實(shí)例，如圖1所示，在天花板上用一根輕質(zhì)的不可伸長(zhǎng)的輕繩，懸掛一只橡皮擦，用一根鉛筆靠近繩上的某點(diǎn)，沿水平方向以速度[v0]勻速運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中橡皮擦做什么運(yùn)動(dòng)？

解析：要求橡皮擦的運(yùn)動(dòng)，可以先分解后合成，橡皮擦的和運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向和豎直方向的分運(yùn)動(dòng)，而橡皮擦在水平方向由于始終在鉛筆的正下方，故其在水平方向的分運(yùn)動(dòng)易知為以速度[v0]做勻速運(yùn)動(dòng)，即[vx=v0]，豎直方向的分運(yùn)動(dòng)是筆者解決問(wèn)題的關(guān)鍵。求解方法有：

方法一：“求導(dǎo)法”。

設(shè)當(dāng)鉛筆運(yùn)動(dòng)時(shí)間t后，其由A位置運(yùn)動(dòng)到B位置（如圖2所示），鉛筆運(yùn)動(dòng)的位移為：[v0t]，則橡皮擦在豎直方向的分位移為：[Sy=v0tcosθ-h]（其中：[cosθ=v0th2+v02t2]），

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)其在豎直方向上的分速度：[vy=dSydt=v0cosθ]。

在鉛筆的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，[θ]在逐漸減小，所以[vy]在逐漸變大，故橡皮擦在豎直方向上做加速運(yùn)動(dòng)，而水平方向上又是做勻速運(yùn)動(dòng)，故其合運(yùn)動(dòng)為曲線運(yùn)動(dòng)。

方法二：“微元法”。

令鉛筆在很短的時(shí)間Δt內(nèi)，由位置A向前運(yùn)動(dòng)到位置B，故AB=[v0Δt]，在OB上取OA的等長(zhǎng)OC，連AC，BC即為這段時(shí)間內(nèi)橡皮擦在豎直方向上上升的距離，由于Δt很小，故可認(rèn)為AC邊垂直于OB邊，所以BC=AB[cosθ]，即BC=[v0Δtcosθ]，因此，此時(shí)橡皮檫在豎直方向上的分速度[vy=v0cosθ]，故得出和方法一樣的結(jié)論。

方法三：“按實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果分解”。

由題可知，在鉛筆的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使和動(dòng)滑輪相接觸的繩端（及B點(diǎn)）有這樣的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果，一個(gè)是沿著OB方向繩子變長(zhǎng)，另一個(gè)是繞懸點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的效果，故可以將繩端的運(yùn)動(dòng)分解成一個(gè)沿繩方向使繩子有伸長(zhǎng)效果的分運(yùn)動(dòng)和一個(gè)垂直于繩子產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的分運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。而沿繩方向使繩子有伸長(zhǎng)效果的分運(yùn)動(dòng)的速度即為橡皮擦在豎直方向的分速度。如圖4所示，由三角函數(shù)關(guān)系，可得：[vy=v0cosθ]。

可見(jiàn)，三種方法從不同的角度幫助學(xué)生理解該類(lèi)模型，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能更好的體會(huì)到該類(lèi)問(wèn)題的處理方法。

參考文獻(xiàn)

[1]張志峰.巧用速度投影定理解決繩桿連接體速度問(wèn)題[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2008（4）：27.

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