妙用反例，提升學(xué)生思維

趙華

【摘要】：只要舉出一個(gè)反例，就能判斷一個(gè)命題是假命題。反例構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。妙用反例，可以提升學(xué)生思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】：反例 提升 思維。

正文：

只要舉出一個(gè)反例，就能判斷一個(gè)命題是假命題。反例構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。妙用反例，可以提升學(xué)生思維品質(zhì)。

在數(shù)學(xué)中，較多的是讓學(xué)生利用舉反例的方法來做一些判斷題。例如，讓學(xué)生判斷以下命題是否為真命題：（1）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角，一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角；（2）兩個(gè)無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；（3）面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形等等。這些數(shù)學(xué)語言對(duì)學(xué)生而言比較抽象，容易混淆，如果通過舉反例的方法來解答就比較容易。

當(dāng)知識(shí)的內(nèi)涵比較豐富時(shí)要舉反例，通過反例來加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。例：已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)論斷：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC.請(qǐng)你從中選擇兩個(gè)論斷作為條件，以"四邊形ABCD是平行四邊形"作為結(jié)論，構(gòu)造假命題，并舉反例加以說明。在學(xué)習(xí)公式、定理時(shí)，有的學(xué)生常常不注意條件，在解題中常常出現(xiàn)錯(cuò)誤。這時(shí)，教師可以借助反例使學(xué)生深入思考，避免解題時(shí)再犯同樣的錯(cuò)誤。例： ① 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等嗎？ ② 有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？

當(dāng)某一概念容易向鄰近概念泛化時(shí)要舉反例。例：在學(xué)習(xí)等弧的概念時(shí)，有這樣一道判斷題：長度相等的弧是等弧。學(xué)生可能會(huì)因?yàn)閷?duì)弧的度數(shù)和弧的長度不了解，而且學(xué)生會(huì)由于對(duì)線段相等的概念的泛化，判斷錯(cuò)誤。此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生舉反例：用兩根同樣長度的細(xì)鐵絲分別彎成兩段半徑不等的弧，它們的長度顯然是相等的，可是所在圓的大小不等，并不能互相重合。由此來強(qiáng)調(diào)等弧的概念必須是在同圓和等圓的前提下。再如：舉反例說明“如果AB=BC，那么點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)”這個(gè)假命題。反例：若A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上，則三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，如果AB=BC，點(diǎn)B肯定不是AC的中點(diǎn)。

當(dāng)練習(xí)中出現(xiàn)消極思維定勢時(shí)要舉反例。例：在學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，有這樣一道題：已知⊙O的半徑是5cm，直線l上有一點(diǎn)P，且OP=5cm，則直線l與⊙O是什么位置關(guān)系？在解答此題時(shí)，很多同學(xué)都回答的是相切，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為OP=5cm，剛好和⊙O的半徑相等，便認(rèn)為是相切了。實(shí)際上，OP=5cm只能判定點(diǎn)P在⊙O上，說明直線l和⊙O有公共點(diǎn)。此時(shí)，一名同學(xué)舉反例畫出⊙O和直線l相交的情況。因此，此題的正確答案應(yīng)該是相切或相交。

難以例舉的反例，教師應(yīng)多示范，多做引導(dǎo)。如在九年級(jí)總復(fù)習(xí)的時(shí)候，常會(huì)遇到這樣一個(gè)命題：“有一組對(duì)邊和一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。”人們都知道這是一個(gè)假命題，但往往由于一時(shí)找不出它的反例，不能使人心悅誠服，深刻理解。但是我在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生給出構(gòu)造該命題反例的三種獨(dú)特方法： 1、幾何作圖法 ：在⊙O中作兩條相交的等弦AB、CD，連結(jié)AD、BC，然后延長AD至E，使△ABE構(gòu)成等腰三角形，則四邊形CDEB就符合上面命題的題設(shè)：∠C=∠E，且CD=BE，但是四邊形CDEB顯然不是四邊形。 2、分割拼接法： 已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在DC上，且AE=AC，對(duì)圖形進(jìn)行改造，割去△ABC和△AED，將△ABC與△AED拼在一起，使C、E點(diǎn)重合，則得新圖形，其中BC=AD，∠B=∠D，AB>DE（C），顯知四邊形ABCD不是平行四邊形。3、角尺演示法 ：自制兩個(gè)V形角尺，使AB=A′B′，∠ABC=∠A′B′C′，然后在一平板上將兩個(gè)角尺滑動(dòng)，使端點(diǎn)A沿邊B′C′，端點(diǎn)A′沿邊BC。只要AB′≠A′B時(shí)，任一四邊形ABA′B′都不是平行四邊形。

總之，數(shù)學(xué)反例是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的調(diào)節(jié)器，其功用旨在防錯(cuò)、糾錯(cuò)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)、適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們鞏固和掌握知識(shí)，培養(yǎng)他們思維的深刻性和創(chuàng)新性。妙用反例，可以提升學(xué)生思維品質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

巧用反例教學(xué)提高思維品質(zhì) 作者 徐峰

巧用反例教學(xué)提高思維品質(zhì) 作者 百度文庫