數軸在初一數學中的重要應用

鄭飛飛

摘 要：數學是研究數與形的一門學科。數形結合更是數學的一種重要思想方法，而數軸則是我們學生更好掌握數形結合思想的基礎。初一課本給我們的數軸定義是：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。利用數軸可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹性和直觀性兩大優勢，是優化解體的一種重要途徑。鑒于數軸的在初一數學中的重要性現就數軸在初一數學解題中的應用做如下簡要的探討。

關鍵詞：數軸；解題；應用；探討

引言：數軸是數形結合思想于初中的初步體現，是“數”與“形”的初步結合。想要完全掌握數軸的各方面知識，我們通過“認識數軸”和“數軸上的點與實數的關系”來體會，另外在不等式中利用數軸討論不等式的解集的問題中的應用來理解。本文就“認識數軸”“數軸上的點與數軸的關系”“運算中數軸的應用”“不等式中數軸的應用”三方面來探討數軸在初一數學中的重要應用。

一：認識數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫數軸。它具有三要素：原點、正方向、單位長度。

例1：下列數軸的畫法正確的是（）

這里主要考察對數軸的理解，數軸三要素缺一不可。

數軸的畫法：（1）.畫一條直線（一般畫成水平的直線）；

（2）.在直線上根據需要選取一點為原點（在原點下面標上“0”）；

（3）.確定正方向（一般規定向右為正，并用箭頭表示出來）；

（4）.選取適當的長度為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…。

例2：數軸上表示數-3和2之間的所有整數（包括-3和2兩個數）的和等于多少？

通過畫出數軸，可以知道-3和2之間的所有整數有：-3，-2，-1， 0， 1， 2 它們的和：（-3）+ （-2 ）+（ -1）+ 0 + 1 + 2 =-3。這是建立在學生對數軸的理解的基礎上的，通過有形的數軸數出具體的正數。這在后面的數學學習中還有更多的體現。

二：數軸上的點和有理數的關系

數軸上的點與有理數的關系可以從（1）任何一個有理數都可以用數軸上的點表示；（2）正數可以用原點右邊的點表示，負數可以用原點左邊的點表示，0用原點表示。

其實在我們將數域擴充到實數范圍時，我們知道數軸上的點與實數是一一對應的關系。

例3：已知A，B，C是數軸上的三個點，且C在B的右側.點A，B表示的數分別是1，3，如圖（1）所示.若BC=2AB，則點C表示的數是____.

本題是2017年福建中考題，考查了數軸：所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理數.（一般取右方向為正方向，數軸上的點對應任意實數，包括無理數.）先利用點A、B表示的數計算出AB，再計算出BC，然后計算點C到原點的距離即可得到C點表示的數.

例4、若a，b為有理數，a>0，b<0，且|a|<|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小關系是（ ）

A.b<﹣a<﹣b

C.b<﹣a

這是《安徽省合肥市2017-2018學年七年級上學期第一次月考試題》的第7題根據a>0，b<0，且|a|<|b|，可用取特殊值的方法進行比較.但此題若是運用數軸，在數軸上找到a，b，-a，-b的位置，則他們的大小關系就一目了然了。

運用數軸比較實數大小是一種非常簡單明了的辦法，只要準確的畫出數軸，找出數的位置，就可以很快地得出結果。在實數的大小比較中，運用數軸比大小是一種較為常見的方法。

例5、在一條不完整的數軸上從左到右有點A，B，C，其中AB=2，BC=1，如圖（2）所示，設點A，B，C所對應數的和是p.

（1）若以B為原點，寫出點A，C所對應的數，并計算p的值；若以C為原點，p又是多少？

（2）若原點O在圖中數軸上點C的右邊，且CO=28，求p.

本題主要考查了兩點間的距離以及數軸的運用，解題時注意：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.根據以B為原點，則C表示1，A表示-2，進而得到p的值；根據以C為原點，則A表示-3，B表示-1，進而得到p的值；根據原點O在圖中數軸上點C的右邊，且CO=28，可得C表示-28，B表示-29，A表示-31，據此可得p的值.

三：運算中數軸的應用

數軸不但將抽象的“數”直觀形象化，而且也有助于理解運算，將運算直觀形象化.如加法就是在數軸上先找到一個加數，再繼續向右數.數到幾，和就是幾。乘法就是在數軸上從0開始幾個幾個地向右數，數到幾，積就是幾。我們知道減法是加法的逆運算，加法是向右數，那么減法就是從被減數開始向左數，數到幾，差就是幾。對于除法的運算，仿照這種思想利用數軸也可以進行計算。當學生擁有在數軸上進行加法的“跳躍”經驗后，在數軸上進行乘法計算時，這種連續的“等距離跳躍”（如下圖），既可以幫助學生進一步理解相同加數連加的乘法本質，使學生清楚地認識乘法口訣中每個乘積的來源，理解相鄰兩個積之間等差的關系，又有助于學生初步感知數列的規律。

例6、利用數軸計算3*4

分析：

借助數軸幫助學生理解運算，學生需要將計數與圖像聯系起來.如“加一個”就是與數序中的后一個數相關聯，在數軸上表現為向右數或向右移動；“減一個”則是與數序中的前一個數相關聯，在數軸上表現為向左數或向左移動.這種在數軸上的移動表征，為以計數為基礎的計算策略提供了心理意象.

四：不等式中數軸的應用

在不等式中講對于數軸的應用可以從（1）用數軸表示不等式的解集；（2）用數軸表示不等式組的解集；（3）利用數軸解不等式中參數范圍的應用三方面來加以探討。

例7、解不等式5（x-1）≤3（x+1），并把解集在數軸上表示出來.

這是最一般的不等式，是七年級下學期的內容，考察在數軸上表示不等式的解集、以及解一元一次不等式。把解集在數軸上表示出來是對上學期有關數軸的復習，也是對數軸的再次深入應用。讓學生對于不等式的解集從抽象的字眼轉向了具體的實物，讓學生易于理解何為不等式的解集。為學生更深入的學習打下了基礎。

例8、解下列不等式組，并把解集在數軸上表示出來.

由上述四例可發現不等式組的解集有四種情況（a>b）：

若：①當 時，則不等式的公共解集為x>a；

②當 時，不等式的公共解集為b

③當 時，不等式的公共解集為x

④當 時，不等式組無解.

也可以用語言簡單表述為大大取小；小小取小，大小小大取中間；大大小小題無解.

本題考察了不等式組的解法，通過在數軸上表示不等式的解集，將不等式組的解集作出如上歸納。

例9、關于x的不等式a-2x<-1的解集如圖所示.求a.

本題根據數軸給出的解集反過來求參數值的問題，考察了數軸、不等式待定系數的求法。這是在學生對于“數軸上的點與實數是一一對應”的準確理解下的正確應用，才可對此題做出正確的解題過程。

例10、不等式組 有解，則a必須滿足什么條件？

這種題型在不等式的練習預測始終較常出現，但學生對于這類題也是有的害怕，因為它相對于簡單的解不等式或不等式組的題有點區別，需要學生先理解，自己寫出關于a的不等式，然后將之解出來。其中一個不等式已經給出-1≤x≤1，要使不等式組有解則另一不等式的解必含有已有的解的范圍。通過這種思想加上數軸形象的表示出有關a的范圍是a/2>-1，從而得出a>-2.對于a/2能否等于-1.很多學生會有困擾，其實只要畫出數軸我們就能很清楚的看出來。

數軸不僅有上述探討的應用，它還有很多其他的用處，例如：數軸是認識時間的輔助平臺、數軸是平面結構化的組成元素等等。本文就不一一探討說明了。

數周的學習與應用對于數形結合的思想的培養具有重要的作用，它是數與形的初步結合，是數形結合的開始。利用數軸可以使我們在解題過程中將很多復雜問題簡單化，抽象問題形象化。在我們初一的數學學習過程中，利用好數軸，可以使我們的很多問題簡單化。

參考文獻：

[1]《義務教育課程標準實驗教科書 數學 七年級上冊》，上海科學技術出版社.

[2]《義務教育課程標準實驗教科書 數學 七年級下冊》，上海科學技術出版社.