例談歷史故事、成語中的數學思想方法

陳生茹 許柱

摘要：作為中華民族優秀傳統文化的一部分，經典的歷史故事和成語生動而凝練，不僅蘊含著豐富的人文趣味和精神，而且蘊含著深刻的哲學思想和道理。“從三到萬”的故事體現了數學中的歸納法，“圍魏救趙”的故事體現了數學中的間接法，“道旁苦李”的故事體現了數學中的反證法，成語“鬧中取靜”體現了數學中的“變中不變”思想。

關鍵詞：歷史故事成語數學思想方法

“大道至簡。”自然和社會中很多領域的思想和道理都是相通的。作為中華民族優秀傳統文化的一部分，經典的歷史故事和成語生動而凝練，不僅蘊含著豐富的人文趣味和精神，而且蘊含著深刻的哲學思想和道理。在數學教學中，選取一些經典的歷史故事、成語，來說明相應的數學思想和道理，不僅能激發學生的興趣，展現中國傳統文化的魅力，實現情感態度與價值觀維度的目標;而且能讓學生受到啟發，領悟數學思想方法的運用，實現過程與方法維度的目標。下面試舉數例，說明經典的歷史故事、成語中蘊含的數學思想方法，供同行參考。

一、“從三到萬”與歸納法

明代劉元卿的《賢奕編·應諧錄》中有這樣一則故事：

汝水邊上有一個土財主，家產很豐裕，但幾代人都不識字。有一年，他聘請了一位先生教他的兒子讀書。這位先生開始教他的兒子握筆描紅，寫一橫說：“這是一字。”寫二橫說：“這是二字。”寫三橫說：“這是三字。”財主的兒子高興了，便對父親說：“我已經學會讀書寫字，不必再請先生了。”財主聽了很高興，便把先生辭退了。

過了幾天，財主要請一位姓萬的親戚來吃飯，便叫兒子寫一張請帖，但是兒子寫了好久還沒有寫好。財主去催促，兒子抱怨說：“世上姓氏很多，為什么偏偏要姓‘萬’呢？我從清早寫起，直到現在，才寫了五百多橫！”

讀了這個故事，人們會覺得十分可笑。其實，這個孩子的想法并非毫無道理。相反，這個孩子從一是一橫、二是二橫、三是三橫中，發現“幾就是幾橫”的規律，認為（猜想）四是四橫、五是五橫……萬是萬橫，正體現了人們在日常生活中經常使用的（不完全）歸納法。像這樣從個別事實推演出一般性結論的推理通常稱為歸納推理。例如，人們在日常生活中經常會在列舉一些具體現象后，說道：“這（列舉的現象）說明……”這其實就運用了歸納推理。

歸納推理是邏輯推理的重要形式，而邏輯推理是數學核心素養的重要方面。雖然運用歸納推理得出的結論不一定正確，但是，運用歸納推理有助于發現結論。數學教學中有很多這樣的例子，特別是對一些復雜的一般性問題，需要從特殊的情況入手，歸納發現一般性結論。

例1將一根繩子對折1次，從中間剪開有多少根？將一根繩子對折2次，從中間剪開有多少根？將一根繩子對折3次，從中間剪開有多少根？……將一根繩子對折n次，從中間剪開有多少根？

解決此題，需要基于歸納的猜想作為引導。當然，因為運用歸納推理得出的結論還需要運用演繹推理加以證明。

二、“圍魏救趙”與間接法

“圍魏救趙”是一則經典軍事故事：

公元前354年，魏國進攻趙國，魏國將軍龐涓指揮大軍包圍了趙國都城邯鄲。趙國向齊國求援，齊國命田忌為將軍，孫臏為軍師，率軍八萬前往救援。

田忌本來打算帶領軍隊直接去趙國與魏軍作戰。而孫臏認為，魏國的精兵都在攻打趙國，國內空虛，主張采取避實擊虛的靈活戰術，向魏國都城大梁（今河南開封）進軍，造成兵臨城下、大軍壓境之勢。田忌采納了孫臏的計謀，率軍進攻魏國。

龐涓得知消息，非常著急，丟掉糧草輜重，急忙從趙國撤軍回魏國。而孫臏預先在魏軍回國的必經之地桂陵（今河南長垣西北）設下埋伏。當龐涓率領長途跋涉、疲憊不堪的魏軍經過時，齊軍突然出擊，大敗魏軍。

這個故事中的做法很好地體現了解決問題（實現目標）的間接法，屬于逆向思維、反常思維（不是打退敵軍，而是讓敵軍自己撤退）。后世還有一則經典的生活故事“司馬光砸缸”，也很好地體現了這樣的思維方式（不是讓人離開水，而是讓水離開人）。

間接法是轉化思想的重要體現，而轉化思想是非常重要（甚至可以說是最為重要）的數學思想。采用間接法可以快速、準確地解決一些數學問題。

例2已知三角形的三邊分別為5、10、13，求三角形的面積。

直接求三角形的面積，初中生可以使用求三角形面積的海倫公式，高中生可以使用余弦定理、同角三角函數關系和三角形面積的正弦公式，但是已知的三邊都是無理數，運算過程會比較繁瑣。

我們可以采用間接法：構造如圖1所示的方格，先算出整個大正方形的面積3×3=9，再算出外圍3個直角三角形的面積和（1×2+1×3+2×3）÷2=5.5，便可以得出要求的三角形的面積：9-5.5=3.5。

例3如圖2，已知AB為⊙O的直徑，CO為⊙O的半徑，AB⊥CO，點D在⊙O上，延長CD，與AB的延長線交于點E，點F在BE上，且FD=FE。求證：FD是⊙O的切線。

要證明FD是⊙O的切線，需利用切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑。連結OD，直接證明∠ODF=90°較為困難。

我們可以利用間接法：先證明∠FDE+∠ODC=90°。因為AB⊥CO，所以∠E+∠C=90°。因為FD=FE，OC=OD，所以∠FDE=∠E，∠ODC=∠C，所以∠FDE+∠ODC=90°。

三、“道旁苦李”與反證法

《世說新語》中有這樣一則故事：

王戎七歲的時候，有一次和幾個小朋友出去玩，看到了路邊的李樹上結滿了李子，多得把樹枝都快壓斷了。小朋友們爭相跑去采摘，只有王戎不動。有人問他為什么。王戎說：“這個李樹長在路邊，假如李子不苦的話，早被路人摘光了;而現在樹上結滿了李子，所以李子一定是苦的。”小朋友們摘下李子一嘗，果然如此。

這個故事中，王戎采用了反證法，從反面論述了為什么道旁的李子是苦的。反證法的證明過程可以概括為“否定→推理→否定”，即從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原結論）的過程。這個過程包括三個步驟：（1）反設——做出與要證結論相反的假設;（2）歸謬——將反設作為條件，通過一系列正確的推理，得出矛盾的結果;（3）存真——由矛盾的結果，說明反設不成立，從而證明要證的結論成立。

反證法是一種常用的間接證明方法，體現了“正難則反”的思想，在數學證明中有著十分廣泛的應用。

例4求證：兩條直線相交只有一個交點。

本題是反證法運用的經典案例。正面證明非常困難，于是，假設兩條直線相交有兩個交點，那么，這兩條直線都經過相同的兩個點，這與“經過兩點有且只有一條直線”的公理相矛盾，所以假設不成立，因此，兩條直線相交只有一個交點。

例5李老師把2個紅球和1個黃球分別裝進3個相同的紙盒里（每盒裝1個），然后將裝有紅球的兩個紙盒分別給小明、小麗，要求他們打開各自的紙盒后，判斷對方紙盒里的球是什么顏色的。小明和小麗打開紙盒后，沒有立即做出判斷;稍加思考后，便異口同聲地說出對方紙盒里的球是紅色的。

請用簡短的語言表達小明、小麗的思考過程。

本題正面說明比較困難，于是反面思考，即運用反證法。若小明拿到的是黃球，他一定能夠迅速說出對方手中的是紅球;若小明拿到的是紅球，他則不能判斷對方手中的是紅球還是黃球。小麗也是同樣的情況。因此，小明和小麗打開紙盒后，沒有立即做出判斷，是因為他們拿到的都是紅球;他們稍加思考后，便異口同聲地說出對方紙盒里的球是紅色的，是因為他們看到了對方猶豫，利用反證法做出了推理。

四、“鬧中取靜”與變中不變思想

成語“鬧中取靜”出自明代馮夢龍的《喻世明言》，指在熱鬧的環境中保持清靜。它很好地體現了數學中廣泛存在的“變中不變”思想——可以說，數學研究的就是數量和圖形關系在變化（表象、事例）中的不變性（本質、規律）。探索變量、動點等變化、運動過程中不變的元素和關系，是中考數學考試的熱點題型之一。

例6如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，BC=4 cm，動點P從點A出發，以1 cm/s的速度沿AB運動;同時，動點Q從點B出發，以2 cm/s的速度沿BC運動。當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動。

（1）試寫出△PBQ的面積S與動點運動時間t之間的函數表達式;

（2）動點運動時間t為何值時，△PBQ的面積S最大？最大值為多少？

解決此類問題最基本的思路就是“變中不變”“以不變應萬變”。解決本題時，要抓住時間t的變化引起點P、Q的位置的變化，引起△PBQ邊長PB、BQ的變化（PB=3-t，BQ=2t），引起△PBQ面積S的變化（S=PB·BQ=-2t2+6t）。

參考文獻：

[1] 章建躍.數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.