拋物線在全國卷高考小題中的案例分析

徐興濤

摘 要：拋物線是圓錐曲線中的重要類型之一，拋物線的定義、性質(zhì)又是高考中經(jīng)常考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而在小題中出現(xiàn)的頻率很高，因此本文借助高考真題，從拋物線焦點(diǎn)弦長、性質(zhì)、與三角形和圓的綜合運(yùn)用及與平面向量的結(jié)合等方面進(jìn)行案例分析。

關(guān)鍵詞：拋物線;焦點(diǎn)弦;圓;三角形;平面向量

一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用。

（1）我們清楚若直線為過焦點(diǎn)，傾斜角為θ，交于A，B的弦長為|AB|=x1+x2+p;

如例題1（2017.全國卷Ⅰ.10.）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

如圖1所示，

，當(dāng)時(shí)取得“=”，從而得到正確選項(xiàng)A。

（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到面積，如圖2，，

所以，

如例題（2014.全國卷Ⅱ10.）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

得到面積為，選D

（3）以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

如例題（2018.全國卷Ⅲ.16）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=________.

方法一：如圖3所示，以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，根據(jù)拋物線的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)，取AB的中點(diǎn)為N，可得MN為梯形APQB的中位線，。

又|MN|在x軸上的投影為|KH|，|MK|=|NH|=1，則，所以，即可得到，解得k=2。

方法二：由方法一得到MN為梯形APQB的中位線，設(shè)A（x1，y1），B（x1，x2），則，根據(jù)，得到y(tǒng)12-y22=4x1-4x2，即。方法二采用點(diǎn)差法進(jìn)行求解，從代數(shù)角度解決弦中點(diǎn)問題。

二、拋物線的定義及性質(zhì)與幾何圖形的綜合運(yùn)用。

（1）拋物線的定義與三角形相似比的綜合運(yùn)用。

平面幾何中三角形、平行四邊形等圖形的幾何性質(zhì)與平面解析幾何融合考查是高考中的一熱點(diǎn)，體現(xiàn)知識的綜合性，對知識進(jìn)行整合，從而靈活運(yùn)用，如三角形中的平行問題或三角形的相似問題在高考題中考查頻率比較高。

如（2014.全國卷Ⅰ.10.）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|=

A. B. C.3 D.2

如圖4所示，過Q作QH⊥l，則QH/x軸，根據(jù)，得到，即可得到，解得，根據(jù)定義

選C。

又如（2017.全國卷Ⅱ.16）16.已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=? ? ? ?.

如圖5所示，作MH垂直于準(zhǔn)線于H，交y軸于K，則，得到三角形相似，對應(yīng)邊成比例，，解得|KM|=1，所以|MF|+|KM|+2=3，|FN|=6

通過兩題可以看出，這兩題極為相似，可以說屬于同一道題，考查拋物線的定義及三角形相似問題進(jìn)行求解，比較起代數(shù)法求解，更加簡潔，運(yùn)算不再復(fù)雜，得分率將會提升。考題中會借助中位線、相似比、平行線中的同位角及內(nèi)錯(cuò)角進(jìn)行綜合。

（2）拋物線的定義及性質(zhì)與圓的綜合運(yùn)用。

考題中會綜合圓的性質(zhì)、垂徑定理、圓冪定理等圓的相關(guān)知識，需要緊扣性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。

如（2016.全國卷Ⅰ.10）以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

A.2 B.4 C.6 D.8

如圖6所示，設(shè)A（x，），解得，根據(jù)半徑，由勾股定理得到

，即有

解得p=4，根據(jù)p的幾何意義得到B

三、拋物線與平面向量的結(jié)合。

我們知道，平面向量是連接集合與代數(shù)的橋梁，平面向量與拋物線的綜合自然是高考中的一熱點(diǎn)，在運(yùn)算中常伴隨的是線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，考慮從代數(shù)運(yùn)算著手。

如（2018.全國卷Ⅰ.8）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=

A.5 B.6 C.7 D.8

如圖7所示，此題考查直線與拋物線相交問題，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算求解設(shè)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，解得，，解得，選D。

考題中常常還會三點(diǎn)共線問題，向量垂直等問題，用三角形法則或者平行四邊形法則進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，通過線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解。

通過以上考題可以看出，小題中解答首先從圖形的幾何性質(zhì)入手，通過曲線的定義、幾何性質(zhì)等考點(diǎn)為著眼點(diǎn)，與直線、三角形、四邊形等幾何圖形融合，所以小題中優(yōu)先通過幾何法進(jìn)行解答;部分考題還需要考慮從代數(shù)運(yùn)算的角度進(jìn)行求解。

參考文獻(xiàn)

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2013.