高中函數值域常見的求解方法

田黎

摘 要：函數在高中階段占有十分重要的地位，作為函數三要素之一的值域的重要性不言而喻.此外，值域（最值）的求解是函數的重難點，常在高考中出現，因此，掌握函數值域（最值）的求解方法是很有必要的，本文結合具體例子對函數值域（最值）的求解方法進行歸納.

關鍵詞：函數值域;求解方法

一、觀察法

對函數的解析式進行觀察，進而求出函數的值域

適用函數類型：比較簡單的函數

例1求函數y=-2的值域

解：∵≥0

∴-2≥-2

∴函數y=-2的值域為[-2，+∞）

例2.求函數y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域

解：∵-1≤x≤1

∴結合函數圖象可得，y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域為[3，5]

二、配方法

將式子或式子的某一部分化為完全平方式或幾個完全平方式之和.

適用函數類型：二次函數及能轉化為二次函數的函數

例3：求函數y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域

∴結合函數圖象可得：y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域為[2，6]

例4求函數的值域

解：∵-x2+4x+5≥0，即-1≤x≤5

∴函數的定義域為[-1，5]

又∵=

∴結合函數圖象可得，函數的值域為[3，6]

三、換元法

對于解析式中合有根式或三角函數模型的函數，可以通過換元法將原函數轉化為簡單函數，當根式里是一次式時，用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.換元過程中，要注意中間變量的取值范圍.

適用函數類型：能通過換元將含有根式或三角函數公式模型的函數轉化為簡單函數的函數

例5求函數的值域

解：令，則t≥0且x=t2+1

∴

結合函數圖象可得：函數的值域為

例6求函數的值域

解：∵1-（x+1）2≥0，即（x+1）2≤1，且-1≤x+1≤1

∴令.

∴函數的值域為

四、分離常數法

將常數和變量分離

適用函數類型：分子、分母是一次函數的有理分式，（a、b、c、d為常數，且a≠0），或分子、分母中有相似的項的函數.

例7：求函數的值域

∴x≠3

∴y≠2

∴函數的值域為（-∞，2）U（2，+∞）

例8求函數的值域

解：∵∴令

則

∴函數的值域為[-，1）

五、反函數法

利用反函數的定義域就是原函數的值域來求解函數值域

適用函數類型：分子、分母是一次函數的有理分式.a.b.c.d為常數，且ac≠0）的函數

例9求函數的值域

解：∵反解得即反函數為（x≠2）

∵反函數的定義域即為原函數的值域

∴的值域為（-∞，2）U（2，+∞）

六、判別式法

將函數轉化為關于x的二次方程f（x，y）=0，函數的定義域是R，通過方程有實數根，判別式△≥0得到原函數的值域，注意討論二次項系數是否為0的情況.

適用函數類型：形如為常數，且a1，a2不同時為零）的函數.

例10求函數的值域①

解：∵

∴（y-1）x2+（1-y）x+y=0

當y=1時，原方程化為1=0，故y≠1

當y≠1時，△=（1-y）2-4y（y-1）≥0，即-

又∵y≠1

∴函數的值域為[-，1）

七、單調性法

利用函數在定義域上的單調性求出函數的值域

適用函數類型：復合函數

例11求函數的值域

解：令U（x）=4x-x2=-（x-2）2+4

∵U（x）>0，即-（x-2）2+4>0，得0

∴結合U（x）的圖象可得，U（x）∈（0，4]

∴結合函數圖象可得，函數的值域為[-2，+∞）

八、有界性法

利用函數的有界性求解值域

適用函數類型：三角函數型函數，利用sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]求解值域.

例12求函數的值域

解：∵

∴

（*）

∵=1

∴令

則上式（*）為

∵x∈R

∴

∴-1≤1，即

∴函數的值域為

不等式法（均值不等式法）

利用（a>0，b>0，c>0）解題.注意利用均值不等式求最值的三個條件限制，即“一正，二定，三相等”.

適用函數類型：函數解析式為“和式”時積為定值，函數解析式為“積式”時和為定值的函數，注意，有時需運用拆項，添項，兩邊平方等技巧.

例13當x>0時，求函數f（x）=8x+的值域②

解：

當且僅當4x=，即x=1時取“=”

∴函數f（x）=8x+的值域為[12，+∞）

參考文獻

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書.數學必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]趙思林.初等代數研究[M].北京：科學出版社，2017.

[3]包永梅.例談函數值域的幾種解法[J].中國校外教育，2010（09）：46

[4]賈珊珊.探究高中數學函數的值域及求解方法.數學學習與研究，2016（05）