淺談函數、方程與不等式的關系及簡單應用

摘 要：函數、方程與不等式是高中數學的重要內容，三者之間的關系密切，其所蘊含的“函數與方程思想”是高中階段重要的思想方法之一，也是解決有關函數問題的基本方法。

關鍵字：函數;方程;不等式

函數、方程、不等式之間有著密切的聯系，只有體會了函數、方程與不等式之間的關系;才能更清晰的認識函數與方程這一重要的思想方法。同時，在解決二次函數、二次方程與二次不等式的問題時，可以借助于函數的圖像，利用數形結合的方法來解決問題。

一、關于函數與方程

方程思想與函數思想有著緊密的聯系，關于函數的問題可以轉化為與其對應的方程來解決，有關方程的問題同樣可以轉化為相關函數加以解決。當函數值為零時其所對應的等式即為方程;從圖像上看，函數是一條的曲線，方程僅是其值為零的情形。以二次函數為例，其表達式為y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，可得方程ax2+bx+c（a≠0）。二次函數的圖像在坐標系內為拋物線，該曲線與x軸交點的橫坐標就是相應二次方程的解;求函數y=f（x）的零點即求方程f（x）=0的根。

二、關于函數與不等式

函數y=f（x）的函數值于為正或為負時就可得到與之對應的不等式f（x）>0（或<0）。函數值為正（負）所對應的自變量x的范圍，即解關于x的不等式f（x）>0（或<0）。從函數圖像上看，函數圖像在x軸上方（或下方）則表示不等式大于（或小于）零的情形。這一過程中，可讓學生嘗試通過圖像去解決有關不等式的問題，鍛煉他們的讀圖和識圖能力。

三、注重數學思想方法的滲透和思維方式的培養

實際教學中，可由具體實例出發，培養由具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，讓學生體會“轉化思想”在數學中的作用和價值。引導學生通過觀察類比的方式，提高他們分析問題與解決問題的能力;增強學生的數學思維情趣，形成學習數學知識的積極態度。完成以上過程之后，可再選取與其有關的綜合問題，讓學生嘗試自主解答，從而熟悉函數、方程與不等式之間的基本關系，以及其中所蘊含的數學思想方法，舉例如下。

例1：關于x的函數f（x）=2（a+1）x2+4ax+2a-1，（a為實數）

函數圖像與x軸有兩不同交點，求實數a的取值范圍;

函數y=f（x）的一個零點為1，求實數a的值;

關于x的方程f（x）=0有兩不同實根，且兩根異號，求實數a的取值范圍。

【試題分析】：問題（1）考察函數圖像，二次函數的圖像與x軸有兩不同交點，則二次項的系數不為零，且判別式大于零;問題（2）由函數零點的定義可知，y=f（x）的零點就是使f（x0）=0的自變量x0，帶入即可;問題（3）考察一元二次方程根的分布問題，可結合函數圖像進行分析，利用數形結合的方法去解決問題。

【試題解答】：

（1）要使y=f（x）的圖像與x軸有兩個不同交點，

f（1）=0由題得解得a<1，且a≠-1.

（2）因為y=f（x）的一個零點為1，即

（3）令2（a+1）x2+4ax+2a-1=0，設其兩根為x1與x2，且x10，其圖像如下：

由圖可知解得.

【點評】：解答本題的關鍵是要認清“函數圖像與坐標軸的交點、方程的根及函數的零點”三者之間的關系，搞清它們之間的聯系，再利用這種聯系去轉化與解決相關問題。

結語

方程思想就是利用問題中的變量間所具有的等量關系，通過解方程或方程組的方法，運用方程的相關性質去解決問題。函數思想就是利用函數的性質與圖像去解決問題，構造出相應函數或建立出函數關系，使問題得以轉化。研究函數的性質和圖像，離不開不等式與方程的幫助，反之利用函數的性質和圖像，可解決方程與不等式的有關問題。在解決以上數學問題時，若能巧妙的應用函數與方程的思想，往往能達到很好的效果。

參考文獻

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[2]王小華.淺談高中數學教學的思想方法滲透[J].課程教育研究.2014（01）.

[3]韓發明.應用二次函數性質綜合推理[J].中學生數理化（高一版）.2009（Z1）.

作者簡介：殷久旋;性別：男;出生年月：199201;籍貫（具體到市）：安徽省滁州市;民族;漢最高學歷：本科;目前職稱：中學二級;研究方向：高中數學教育