淺談全國卷解析幾何大題的備考

洪春

摘 要：解析幾何是高中數學的主干知識。解析幾何大題對考生的能力要求非常高，重點考察學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養，是高考數學得高分的關鍵。故研究其命題規律、解題所需的知識儲備和解題突破口對考生備考有重要意義。

關鍵詞：全國卷;高考數學;解析幾何大題

全國卷從2007年到2018年共有21套試卷，解析幾何大題以橢圓為背景的共15次（其中2次涉及到圓），以拋物線為背景的共6次（其中2次涉及到圓）。所以，我們該把重點放在橢圓，其次是拋物線。而研究高考題的意義在于，第一：考點重復，例2018年1卷的19與2015年的20題都考查“等角問題”，而“中點弦的結論”考查了5次;第二：更好的把握考試范圍，高考題可以指引縮小目標，更高效的練習;第三：高考題是最好的訓練題，以前考查的知識、方法、技巧，是我們的必會題。

一、知識準備

全國卷解析幾何大題共分兩問，第一的錯誤會對第二問的得分造成毀滅性的打擊，所以第一問一定要充分準備，仔細作答。第一問大多數時候用簡單的待定系數法就能搞定，但復習的時候仍要注意以下兩點：

1.橢圓的第一定義

見2016年1卷，由A，B兩點的坐標就能基本鎖定點E的軌跡方程是橢圓（全國卷還沒有考過雙曲線的大題），由平面幾何知識可以證明EB=ED，從而AE+BE=4。另見2013年1卷

2.“中點弦的結論”（2018年3卷20題，2015年2卷20題，2013年2卷20題）：A，B為橢圓上兩點，M為弦AB的中點，O為坐標原點，則

3.長度計算公式：為任意兩點，則

（1）

公式（1）前半部分可以用于任意兩點間距離，通常用于坐標容易計算的情況;公式（1）后半部分用于算弦長，通常用于坐標的不好計算，而選擇用韋達定理整體計算的情況。若AB為圓的弦長，r為半徑，d為圓心到直線的距離，則

（2）

例【2016年1卷】橢圓弦長用公式（1）計算，而圓的弦長，用公式（2）計算。

二、技巧與常見“翻譯”準備

解析幾何集中考查數學核心素養的數學運算和數據分析，對學生計算能力要求很高，而積累常見條件的“翻譯”和運算技巧能大大的減少運算量，提高準確度。這其中最重要的技巧就是怎樣將條件“翻譯”并轉化成韋達定理。目前的21套全國卷中有15套用到了韋達定理，可以分為以下幾類。

1.角相等

出現在2018年1卷，2015年1卷。

角度相等可以轉化為斜率之和為0，從而順利轉化到韋達定理。

2.邊相等

可見2010年新課標卷，設AB中點，等價于，而N點坐標可以用韋達定理求出。

3.平行四邊形

可見2015年2卷，平行四邊形的判定定理常用的有三個：對角線相互平分，一組對邊平行且相等，兩組對邊平行。由四邊形OAPB的字母順序知，我們該考慮對角線相互平分，即AB的中點與OP的中點重合即可。AB的中點可以由韋達定理算出，而OP的中點不難強算。

4.面積表示

底×高=×合適的底×水平高=×合適的底×豎直高（3）

而對于對角線垂直的四邊形：對角線乘積（4）

公式（3）出現在2014年1卷，公式（4）出現在2016年1卷和2013年2卷。

三、重視邏輯推理訓練

表面上看，近幾年解析幾何的題似乎有變簡單的趨勢，比如：2018年的全國1，2，3卷中1，2卷解析幾何大題放在了19題。但看看同學們的訓練結果，細細想來并非如此。這些題的特點在于少了“套路”，多了邏輯，多了推理，這樣會讓沉迷熟悉“套路”的同學難以下筆。例2018年2卷，如果記住了“套路”以AB為直徑的圓要與準線相切的同學很可能會漏解AB不是直徑的情況。而如果我們回到概念的本真，抓住圓的基本量圓心和半徑，以此為邏輯的起點去整合推理，就不會漏解。

四、常見題型準備

全國卷的解析幾何的大題有幾道是反常規的，但多數都可以回歸到我們常見的訓練范疇。

1.定點定值問題

可見2017年的1卷，2卷，2015年1卷，2卷，

2.范圍問題

范圍問題通常都是函數或不等式的問題，函數的問題要注意二次除以二次，二次除以一次的處理方式，若是不等式可能會用均值不等式或解高次的不等式。全國卷在2016年1，2卷，2014年1卷，2013年2卷，2011年新課標卷考查了范圍問題。