芻議“水滴型”在中學數學解題中的應用

鄺鳳玲

【摘要】在教學中發現根據學生認知特點建立適當的數學模型有利于學生更好地掌握數學定理。

【關鍵詞】中學數學；水滴型；切線長定理

切線長定理是在學習了切線的性質和判定的基礎上繼續對切線性質的研究，是在垂徑定理之后對圓的對稱性又一次的認識。體現了圖形的認識、圖形的變換、圖形的證明的有機結合。

切線長定理的內容包括：從圓外一點可以引圓的兩條切線，這兩條切線的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，共三個內容。在應用的時候我們主要利用它證明線段相等或角相等。但是由于切線長定理是一個相對內容比較多的定理，所以學生往往掌握得不全面。為此，我給學生提煉出切線長定理的模型——“水滴型”，如圖1

利用“水滴型”可以讓學生直觀體會圖形的對稱性，從而加深對“切線長相等”與“點和圓心的連線平分兩切線組成的角”的理解。那么在解題過程中，我們可以通過“水滴型”這種模型思想來使問題主干突出，從而攻破難點。

例1：如圖2，在△ABC中，AB=5cm ，BC=7cm，AC=8cm，⊙O與BC、AC、 AB分別相切于 D、 E 、F，求 AF、 BD 、CE的長？

分析：在本題中表面上看只有一個三角形和一個圓，但是我們可以把它看成三個不同方向的“水滴型”，根據水滴的性質，我們知道AE=AF，BD=BE，CD=CF。一下可以得到三組相等的線段，并且這三組相等的線段中每兩條不同的和正好就是AB、BC、AC的長。這里我們可以利用方程的思想設未知數，列方程解決。

如：設AE=AF=xcm，BD=BE=ycm，則

相同類型的題目還有下列兩例：嘗試練習1。已知，如圖3，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C=90°.

（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；

（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半徑r.

嘗試練習2。如圖4，一圓內切于四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形ABCD的周長為________.

上面的這些圖形中，“水滴型”很容易就辨別出來了，但不是所有的“水滴型”都很容易發現.

例2：如圖5，AE、AD、BC分別切⊙O于點E、D、F，若AD=20，求△ABC的周長.

分析：不少同學看到這個圖形中只有一個“水滴型”，其實它跟上面的問題一樣，有3個“水滴型”。從A點引出的兩條切線容易被關注，從B、C亮點引出的切線卻容易被忽略。

解：∵ AD=AE， BD=BF，CE=CF，

∴ CΔABC=AB+BC+AC

=AB+BF+CF+AC

=AB+BD+CE+AC

=AD+AE

=20+20

=40

例3：如圖6，AB、CD分別與半圓O切于點A、D，BC切⊙O于點E，若AB=4，CD=9，求⊙O的半徑。

分析：這個問題中，由于圓沒有畫全，所以更不容易看出“水滴型”來，這個時候，只要我們把圓補全就能發現從B點引出兩條切線長BA和BE與圓構成一個水滴，從C點引出兩條切線長CD和CE與圓又構成一個水滴。由此，得到兩個隱含條件為：BE=BA=4及CE=CD=9。

解： 過點B作BF CD于F。

∵ AB、CD分別與半圓O切于點A、D，BC切⊙O于點E，

∴ AD⊥AB，AD⊥CD 且BE=BA=4，CE=CD=9 ，

∴ BC=BE+CE=13

∵ BF⊥ CD ∴四邊形BADF為矩形，則DF=AB=4，BF=AD

∴ CF=CD-DF=5

在RtΔBCF中，即AD=12

∴ ⊙O的半徑AO=AD=6

以上幾個例子都是利用了“水滴型”中切線長相等這個性質，而有時我們需要用的是平分角的性質。

例4：已知：如圖7，⊙O內切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm.求BC、AC的長.

分析：看到已知條件中有兩個關于角度的，我們應該提醒自己還有兩個暗含的條件即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。

解：∵∠BOC=105°，

∴∠CBO+∠BCO=180°-105°=75°

∵∠CBO=∠ABO，∠BCO=∠ACO，

∴∠ABC+∠ACB=2×75°=150°

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，則∠A=30°。

∵AB=20cm，

∴BC=AB10cm，AC=

利用“水滴型”平分角的性質的習題又如：嘗試練習3。一個鋼管放在V形架內，如圖8是其截面圖，O為鋼管的圓心.如果鋼管的半徑為25cm，∠MPN=60°，求OP的長。

上面的例子主要側重于單方面利用切線長定理得到線段相等或得到角相等，還是相對簡單些。在一些較復雜的題目中兩個性質要同時使用的時候，我們往往容易忽略其一。

例5：如圖9，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，DE與⊙O相切于D.

（1）求證：OE//AC。

（2）若tan∠OED=，DE=2，求AD的長.

分析：本題可以利用切線性質和判定、切線長定理得到第一問的結果。求AD長則需要利用OE平分∠BED。但是同學們在做題過程中可能不容易發現藏在里面從E點引出兩條切線構成的“水滴型”。

（1）證明：∵∠ABC=90°，且AB為直徑

∴BC是⊙O的切線

又∵DE與⊙O相切于D ∴BE=DE

連接OD、BD

∵ OD=OB且BE=DE

∴ OE垂直平分BD

∵ AB為直徑

∴BD AD 則OE//AC

（2） 解：∵DE與⊙O相切于D且BC與⊙O相切于B

∴ OE平分∠BED 即：∠OEB=∠OED

∵ 由（1）知OE//AC ∴∠OEB=∠C

即tan∠C=tan∠OED=

且OA：OB=EC：EB 則EC=EB

∵ΔBCD為直角三角形，DE=2

∴BC=2DE=4

在RtΔODE中，∵tan∠OED= DE=2

∴OD= 則 AB=

在RtΔABC中，BC=4，AB=

∴則

∴在RtΔABC中，

同時，同時運用兩種性質的還有：嘗試練習4：如圖10，⊙O 與x軸y軸分別相切于A、B兩點。直線l與⊙O相切于點C，交y軸于點D（0，4），且與y軸成60°夾角。求點C的坐標。

切線長定理的應用在很多題目中有體現，但是學生很多時候看到切線先想到的是切線的性質和判定，容易忽略切線長定理的內容。在這種情況下，如果能讓學生建立“水滴型”模型，并對“水滴型”模型的印象更深刻一些，對解題會有很大的幫助。