數學的奇偶性與勾股數

王建輝

我們先看這樣一些數：3=4+5，3+4=5;5=12+13，5+12-=13。7=24+25，7+24=25……

不難發現，任何一個大于1的奇數的平方都可寫成兩個連續整數的和，則這三個數是一組勾股數.再如：9=40+41，且有9+40=41從而可得9、40、41是一組勾股數.

勾股數的這一性質是可以證明的。

證明：設給定的大于1的奇數為a，兩個連續整數為n、n+1，且有a=n+（n+1），即a=2n+1.

∵（n+1）=n+2n+1=n+（2n+1）=n+a，即a+n=（n+1）.

∴a、n、n+1是一組勾股數.反之，若a、n、n+1是一組勾股數，則a=n+（n+1）.請同學們嘗試證明此結論.

我們再看一些數：

……

不難發現，任何一個大于2的偶數的平方的一半都可寫成兩個相差2的整數的和，則這三個數是一組勾股數.再如：，且有10+24=26，從而可得10、24、26是一組勾股數.

勾股數的這一性質也可被證明.請同學們思考證明方法.

綜上所述，對于任意大于2的整數（奇數成偶數）都可根據上述方法，很快得兩個整數與之成為一組勾股數，這個任意大于2的整數通常作為三個整數中的最小一個.據此，我們可快速判斷某個三角形是否是直角三角形，亦可由已知直角三角形的兩邊很快得出第三邊.