操作中體驗，算理與算法間穿行-

王君

算理與算法是我們計算教學(xué)中常常提到的兩個詞，看上去似乎很像不易分清，但細細深究起來，算理：即計算的原理或道理，是解決問題的操作程序，解決“為什么這樣算的問題”。算法：即計算的方法，是解決問題的操作程序，解決“怎么算”的問題。算理是算法賴以成立的數(shù)學(xué)原理。也就是說計算教學(xué)由計算原理教學(xué)和技能訓(xùn)練兩部分組成。在教學(xué)時，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計算方法，最后形成計算技能。

在計算教學(xué)活動中，很多教師非常注重算法的訓(xùn)練，而對算理的教學(xué)比較忽略。課堂上對于算理，教師只講一遍，一帶而過，學(xué)生的探究活動也是針對方法探究的活動多，接下來就是對計算方法的反復(fù)強化。老師說說計算時要注意的地方，再請學(xué)生說一說，然后就開始練習，一遍又一遍，一題又一題，達到熟能生巧， “一看見題就知道怎么寫”的程度，而不去想為什么這樣做。表面看來教學(xué)效果和學(xué)習效果都很不錯，老師教過的都掌握了，并且做到了“算的又對又快”，但是對于老師沒教過的、學(xué)生經(jīng)過知識的遷移進行類比推理、轉(zhuǎn)化就可以自己掌握的知識，讓學(xué)生通過計算學(xué)習學(xué)會學(xué)習，感悟類比數(shù)學(xué)思想方法，教師卻很少考慮，學(xué)生失去了自我探究、教師失去了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習能力的大好時機，這不能不說是計算教學(xué)的缺憾。在計算教學(xué)中怎樣有效進行算理與算法的有效鏈接是值得我們每個數(shù)學(xué)教師深思的問題。

人教版教材三年級上冊第六單元《多位數(shù)乘一位數(shù)》的《筆算乘法》一課，是學(xué)生在二年級已熟練掌握表內(nèi)乘法、能正確口算100以內(nèi)加、減法;在三年級，剛剛學(xué)會口算整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。這節(jié)課既是乘法豎式的起始，又是本單元的重點。既是表內(nèi)乘法的進一步發(fā)展，又是進一步學(xué)習兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法（多位數(shù)乘法）的重要基礎(chǔ)。因此，切實掌握好兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法，學(xué)生可以借助本課的學(xué)習經(jīng)驗，遷移、類推后續(xù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容，對學(xué)生日后計算內(nèi)容中算理的理解、學(xué)習能力的發(fā)展具有十分重要的意義。

本課將教學(xué)兩道例題：例1：12×3（不進位）。在第一小節(jié)中學(xué)生已經(jīng)會口算，并且會擺小棒表示3個12相加的和，本課重在讓學(xué)生會筆算12×3。例2：16×3（一次進位）的筆算。因教材中的例1是買水彩筆和買書的情景圖，不能較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，因此我在教學(xué)中將情境圖改為2015年9月3日，天安門大閱兵各種方隊的介紹。目的是為計算教學(xué)提供豐富的現(xiàn)實背景，激發(fā)興趣，對學(xué)生進行熱愛祖國，愛好和平的教育。

因考慮到如果只教學(xué)例1（不進位），會讓學(xué)生覺得過于簡單，不利于激發(fā)學(xué)生的探究欲望，學(xué)生也有能力在一節(jié)課中接受兩道例題的學(xué)習。所以我把例1和例2放在一課教學(xué)，想通過不進位和進位筆算乘法算理的對比學(xué)習，加深對多位數(shù)乘一位數(shù)算理的理解。

在筆算學(xué)習經(jīng)驗上，學(xué)生已經(jīng)具備了筆算加、減法和除法的計算方法，積累了一定的學(xué)習經(jīng)驗。因筆算乘法與筆算加減法有很大差異，多位數(shù)乘一位數(shù)不是相同數(shù)位上的數(shù)相乘，學(xué)生第一次接觸筆算乘法時在乘法豎式的寫法和理解豎式計算中每一步的算理方面仍感到困難。

“教之道在于導(dǎo)，學(xué)之道在于悟”，本課教學(xué)，我將情境創(chuàng)設(shè)、遷移嘗試、觀察對比、交流討論、動手操作、錯例分析、溝通融合、自主練習、相互評價等有機地結(jié)合起來。讓學(xué)生結(jié)合操作探索豎式的寫法，將動作表征（操作），與符號表征（豎式）緊密結(jié)合起來，幫助學(xué)生理解豎式每一步的算理，突出重點、突破難點。過程中凸顯學(xué)生的主體地位，教師只做適時的引導(dǎo)和點撥。

因教材中水彩筆和買書的情景圖不能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，因此將情境圖改為2015年9月3日天安門大閱兵中各種方隊的介紹。目的是增強情境與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的興趣，對學(xué)生進行熱愛祖國，愛好和平的教育。

從3組空中方隊和3組導(dǎo)彈方隊圖的觀察，引出兩個要解決的問題：3組空中方隊一共有多少架飛機？3組導(dǎo)彈方隊一共有多少輛車？

對于12×3展示學(xué)生口算想法后，你還能用其它的方法來計算12×3嗎？在談話中，幫助學(xué)生找到新課的生長點，明確要解決的新問題。順應(yīng)學(xué)生的思路，喚起學(xué)生對已有知識的回憶，“我們已經(jīng)學(xué)習了加減法和除法豎式，還沒有學(xué)過乘法豎式”，從而揭示今天的課題。在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗上，搭建一個橋梁，讓學(xué)生感受到新舊知識間密不可分。

在計算12×3時，預(yù)設(shè)學(xué)生會用連加、口算、豎式、擺小棒等多種方法來計算。在實際教學(xué)中，學(xué)生只出現(xiàn)了口算和筆算的方法，順應(yīng)學(xué)生的思路，在學(xué)生已有知識經(jīng)驗上復(fù)習口算方法，引出乘法豎式，揭示課題。讓學(xué)生感受到新舊知識間密不可分。

充分利用學(xué)生在口算乘法中積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，自主探索筆算豎式的寫法。預(yù)設(shè)：完整的分步演算的乘法豎式;簡寫的乘法豎式。可實際授課中，學(xué)生只出現(xiàn)了簡寫的乘法豎式。

為了幫助學(xué)生更好地從口算向筆算方法轉(zhuǎn)化，我補充了完整的分步演算的乘法豎式。（預(yù)設(shè)3）

“你能找一找口算中的2×3=6，10×3=30，分別在豎式計算的什么地方？在小棒圖的什么地方嗎？”利用數(shù)形結(jié)合的思想，請學(xué)生指、圈、說溝通建立小棒圖與口筆算之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解算理，初步掌握算法。

為了幫助學(xué)生更好地從口算向筆算方法轉(zhuǎn)化，教師一邊講算理，一邊板書沿口算思路形成的豎式寫法，由此請學(xué)生對比觀察：“你認為兩種豎式的寫法，哪種好？為什么？”學(xué)生一致認為沿口算思路寫成的豎式特別清楚，“10×3=30，這個30怎么不見了？ ” 我把重點放在引導(dǎo)學(xué)生體會哪種豎式更為簡便。動態(tài)的課件演示：任何數(shù)和0相加還得原數(shù)。10×3=30的3可以直接寫在十位上?？谒闼悸忿D(zhuǎn)向乘法豎式的形成過程，形象地溝通了新舊知識間的聯(lián)系，有利于學(xué)生完整知識體系的建立。

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獨立完成書60頁做一做，其中包含兩三位數(shù)乘一位數(shù)的不進位練習，思考：你是從哪一位算起的？按照什么順序算的？在理解算理的基礎(chǔ)上，明晰算法，進一步突出重點，突破難點，為后續(xù)的學(xué)習做好準備。

當學(xué)生初步理解了筆算（不進位）乘法的算理并掌握了一定的計算方法后，請學(xué)生借助剛才的學(xué)習經(jīng)驗，嘗試筆算（進位）16×3。

合理利用課堂生成的資源，先讓學(xué)生展示各自的答案（有錯、有對），再引導(dǎo)學(xué)生通過擺小棒的方法加以驗證，在突破 “十位上的4是怎么來的”這一教學(xué)難點時，先請同桌在小棒圖上找一找，說一說，再全班交流。重點解釋把10個一轉(zhuǎn)向十位，換來1個十。進而說明原來的30，現(xiàn)在變成了40。教師適時板書乘法豎式的完整步驟，再將其簡化，讓學(xué)生結(jié)合小棒圖說說積每一位上的數(shù)表示的含義，進一步理解進位法則。

學(xué)生通過操作，將動作表征轉(zhuǎn)化為符號表征，加深對筆算進位乘法算理的理解，掌握算法，突破教學(xué)難點。讓學(xué)生親歷計算方法的獲得過程，把抽象的算法和難以理解的算理直觀而具體地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，用算理支撐起算法。

2.評價：討論辨析多種答案，提升認識。

充分利用課堂生成的多種答案22、28、48、58、68等，到底哪個答案是正確的？在全班的交流、討論、辨析中，再次加深學(xué)生對進位算理的理解，進一步鞏固學(xué)生對進位算法的掌握。

引導(dǎo)學(xué)生思考：空中方隊和導(dǎo)彈方隊的問題在解決時有哪些地方是一樣的，有哪些地方是不同的？增強學(xué)生對本課重難點的把握，加深了對多位數(shù)乘一位數(shù)的完整認識。

書61頁做一做1的練習，讓學(xué)生體會：進位時滿幾十就要向前一位進幾。辨析之后再投入練習，有效地減少了錯誤，培養(yǎng)了學(xué)生認真檢查的習慣，為發(fā)展學(xué)生的運算能力做出了有效的嘗試。

“這節(jié)課你有什么收獲？”學(xué)生們暢所欲言，從自己學(xué)習的過程進行梳理。增強了學(xué)生對本節(jié)課的系統(tǒng)認識，教師小結(jié)再次把握全課重難點。

建構(gòu)主義學(xué)習理論認為，學(xué)習是學(xué)生自主進行知識建構(gòu)的過程?！八憷怼笔菍W(xué)生走向“算法”的橋梁，是學(xué)生學(xué)習“算法”的基礎(chǔ)。如果計算教學(xué)中單純地談算理的理解，遠遠達不到計算教學(xué)的要求。因為，計算能力的形成是建立在熟練計算之上的，而要達成熟練的計算必然離不開計算方法的支撐。因此，本文僅以三上《筆算乘法》的教學(xué)為例引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，通過比較、分析、應(yīng)用等活動過程，使學(xué)生理解算理，掌握多數(shù)乘一位數(shù)的順序和積的書寫位置，從而突破教學(xué)難點。以此來和大家一起明晰：計算教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生理解算理，更要促進學(xué)生對算理與算法的有效融合。當學(xué)生積累了一定的計算方面的學(xué)習經(jīng)驗，就能夠?qū)崿F(xiàn)計算方法和學(xué)習能力上質(zhì)的飛躍。