論小學數學教材中等分除、包含除的關系

佘丹

在小學階段，關于除法和分數的教學中，我們最常用的情境就是“平均分物”，

例如：（1）把12個竹筍平均放在4個盤子里，每盤放幾個？

列式為 12÷4=3（個）

（2）把12個竹筍分給一些人，每人分3個，可以分給幾個人？

列式為 12÷3=4（個）

這兩道題是不同意義的除法，在總數是12的前提下，問題1是知道平均放在4個盤子里，即知道分的份數，用除法計算出每份是多少，我們稱之為“等分除”;問題2則是知道每份是多少以后，求平均分到了幾個盤子里，即總數里包含了多少份，我們稱之為“包含除”。這兩種除法是同一個“平均分物”數學模型所產生的，地位平等。

而所謂除法，是乘法的逆運算，是指“已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。”我們再回頭看分竹筍的情境中，竹筍總數=份額×盤數。參與平均分的盤數和每盤的數量，是構成竹筍總數這一乘積的兩個平等因數。這樣一來，從除法意義上來講，等分除和包含除，是同一個情境里的兩類互相依存的除法問題，或者說他們是一對雙胞胎，關系密不可分。

又例如四年級數學教材中所學的的這個數量關系式：

總價=單價×數量

這兩個基本關系都涉及到兩個平等的因數相乘，兩個基本關系式的變化形式有

單價=總價÷數量

數量=總價÷單價

這兩個變式就是等分除和包含除，可以看出兩類除法在解決問題中的應用也是均衡的。

首先，等分除和包含除在數學教材和教學中的地位是平等的。

以下是等分除和包含除在人教版教材中的編排，我將教材中的例題進行了歸類，總結起來，7道例題9個問題中有4個等分除和5個包含除。

基本上兩種除法在除法的運用中，地位是平等的。我認為我們現在使用的這套人教版教材對于兩類除法的處理就很好，如二年級下冊教材23頁中的例題，將兩種除法編排在同一頁，進行對比區分，并發現他們之間的聯系，這樣處理就很好地幫學生理解兩者。

當然，我們課堂上問學生：“什么時候要用除法？”時，學生多半會回答把一些蘋果平均分給幾個小朋友，一個小朋友分幾個？學生在初學除法時，先入為主地將平均分定義為除法。而我的學生出現這種現象的原因是，我沒有在課堂上著重的強調除法分為等分除和包含除，當然，我在之后的課堂里，我還是做了很多補救，比如：在四年級上冊的《除數是兩位數的除法》教學中，像“有80面彩旗，每班分20面，可以分給幾個班？”中，我會有意識地引導學生，將應用題轉化成文字題，80里面有幾個20，再到80里面包含了幾個20。效果還是不錯的！

后來，我查閱了很多資料，仔細地研究了等分除和包含除的涵義和關系，還發現當學生說出包含除的含義之后，可以引導學生的思維從列式計算轉向對算理的思考，這一發現對于我今后的教學也是很有幫助。

第二，部分到整體的包含除關系，是理解分數的一把鑰匙。

再看下面兩個問題，

（1）4支鉛筆平均分給12個小朋友，每人分得幾支鉛筆？

（2）一盒鉛筆12支，4支鉛筆是多少盒？

這兩題的列式都是4÷12，可同一個式子表示的意義卻不同，（1）題中，依據平均分的數學意義得出，每人分得1/3支，（2）題中，問4支鉛筆是多少盒，實際也就是問4支鉛筆包含了一盒鉛筆（12支）的多大一部分，從除法意義上來講，就是包含除，問4含有多少個12？

于是，同一個算式4÷12=1/3，它既可以從等分除的角度提問，也可以從包含除的角度提問。只是需要在教學中強化訓練，為了使學生容易理解，也可以提一些學生容易理解的問題加以輔助。

綜上所述，整數除法中經常問整體中包含了多少個部分，而提問部分中包含了多少個整體時，我們都會用分數表示。實際上這種一個量占另一個量多大份額的問題，是分數單元的核心問題，學生一旦掌握，受用匪淺。

第三，先用圖形分析，再用包含除解說，得出分數除法的方法----顛倒相乘。

請看下面兩道題，

（1）4/5÷2

（2）4÷1/2

第（1）題中， 4/5÷2，我們可以理解成將4/5平均分成2份，一份是多少？這種很明顯是等分除，比較簡單。4個1/5平均分成2份，每份是2個1/5，即2/5。而第（2）題4÷1/2，我們不能說成將4平均分成1/2份，但可以問4里面包含了幾個1/2，然后通過畫圖一看，就知道1里面有2個1/2，則4里面有8個1/2。得，

4÷1/2=4×2=8，顛倒相乘法則很容易看出來。

再看我們人教版教材六年級上冊“分數除法”單元中的31頁，先是用畫圖的方法進行數量的分析，再用包含除的觀點進行講解計算，而后得出顛倒相乘的方法。這樣既直接，學生又容易接受。而著名的美國數學家芒福德也主張用圖形的包含關系來獲得顛倒相乘的證明。在小學階段，通過一個實例，觀察一個圖形，再導出一個解釋，比那些生硬的形式化證明更好，學生也更容易接受。

學習了除法以后，到分數，再到分數的除法，以及后面的比與比例，我們一直都會用包含除來解決一些問題，由此可見，包含除在小學數學階段的教學中，尤為重要。但我們也不能因此而忽視等分除，他們是相輔相成的，二者缺一不可。