從法拉第電磁感應定律的微積分形式

李真義

摘要：法拉第電磁感應定律是高中物理中電磁感應的核心內容，也是整個電磁學的核心知識，它既與“電場、磁場和恒定電流”有緊密聯系，又是今后學習“交流電”的基礎。但對于其中的感生電動勢與動生電動勢的理解往往會令學生困惑以至于很多學生會死記硬背公式然后盲目套用。本文將從法拉第電磁感應定律的微積分形式理解高中物理中的感生電動勢與動生電動勢。

關鍵詞：法拉第電磁感應定律；高中物理；電磁學

法拉第電磁感應定律敘述如下：通過回路所包圍面積的磁通量發生變化時，回路中產生的感應電動勢εi與磁通量對時間的變化率成正比。如果采用國際單位制法拉第電磁感應定律的數學表示為

εi=-Φ=BScosθ（S為導體圍成的周界面的面積，θ為B與S的夾角）

一、當導體圍成的周界面的面積S既不擴張和縮小，也沒有旋轉，即滿足①、③條件下，若磁場強度B的大小隨時間變化，則滿足

εi=Scosθ

這就是高中階段所說的感生電動勢：固定回路中的磁場發生變化，使回路中磁通量變化，而產生的感生電動勢（induced electromotive force）。產生感生電動勢時，導體或導體回路不動，而磁場變化。

下面以一道高考題為例來對感生電動勢進行理解：

（08全國卷Ⅰ）矩形導線框abcd固定在勻強磁場中，磁感線的方向與導線框所在平面垂直，規定磁場的正方向垂直低面向里，磁感應強度B隨時間變化的規律如圖所示。若規定順時針方向為感應電流I的正方向，下列各圖中正確的是（ ）。

答案選D。0-1S內B垂直紙面向里均勻增大，則由楞次定律及法拉第電磁感應定律可得線圈內產生恒定的電流，方向為逆時針方向。

二、當磁場強度B的大小不隨時間變化，即滿足②條件下，有

εi=-Bcosθ+BSsinθ

這就是所說的動生電動勢。

⑴當磁場強度B的大小不隨時間變化，B與S的夾角θ不隨時間變化，即滿足②、③條件下有

εi=-Bcosθ

此種物理情景在高中物理中多以導體在勻強磁場中切割磁感線的情況存在，以長為L的導體在勻強磁場中以速度V勻速切割磁感線運動時間t為例：

εi=-Bcosθ

=-Bcosθ

=-Bcosθ

=-BLVcosθ

高考中對導體在勻強磁場中切割磁感線的考察是比較常見的，如：

（2011年上海卷）電阻可忽略的光滑平行金屬導軌長S=1.3m，兩導軌間距L=0.75m，導軌傾角為30°，導軌上端ab接一阻值R=1.5Ω的電阻，磁感應強度B=0.8T的勻強磁場垂直軌道平面向上。阻值r=0.5Ω，質量m=0.2kg的金屬棒與軌道垂直且接觸良好，從軌道上端ab處由靜止開始下滑至底端，在此過程中金屬棒產生的焦耳熱Q=0.1j.（取g=10m/s2）求：

（1）金屬棒在此過程中克服安培力的功W；

（2）金屬棒下滑速度u=2m/s時的加速度a.

（3）為求金屬棒下滑的最大速度um，

有同學解答如下：由動能定理，….由此所得結果是否正確？若正確，說明理由并完成本小題；若不正確，給出正確的解答.

此題中就涉及到導體在勻強磁場中切割磁感線的考察，第二問：

感應電流：

安培力：F=BIL

由牛頓第二定律得：mgsin30°-F=ma

計算得出：a=3.2m/s2

⑵當磁場強度B的大小不隨時間變化，導體圍成的周界面的面積S不隨時間變化，即滿足①、②條件下，有εi=BSsinθ

在高中階段以交變電流部分最為典型，如在勻強磁場中繞垂直于磁場方向的軸以角速度ω轉動的線圈（θ=ωt）

εi=BSsinθ

=BSsin（ωt）

=BSsin（ωt）

=BSωsin（ωt）

即ωt=，這時感應電動勢最大值Em=BSω，感應電動勢的瞬時表達式為：e=BSωsin（ωt）

可見在勻強磁場中，勻速轉動的線圈中產生的感應電動勢是按正弦規律變化的.即感應電動勢的大小和方向是以一定的時間間隔做周期性變化.

參考文獻

[1]劉秀華.關于感生電動勢和動生電動勢問題的討論[J].大學物理.1985（05）

[2]黃甲安感生電動勢及動生電動勢表達式與E=-（dΦ/dt）的等價性討論[J].廣西物理.1999（01）