高考應用題解法探索

邱紅英 吳海軍

歷年來，高考應用題讓考生們既愛又恨，由于難易適中，得之，可以滿載而歸，不得，甚至顆粒無收。那么，解數學應用題究竟難在什么地方呢？經筆者調查發現很多不會解應用題的學生遇到的主要困難是讀不懂題，他們因為缺乏試題背景的那種生活經驗，弄不懂那些比較復雜的實際背景，最后不得不放棄。那么如何幫助學生克服上述困難，正確的解答應用題呢？顯然，讓學生去一一具備試題背景中的生活經驗是根本不現實的，在這種情況下應通過什么樣的方式讓學生克服這個困難呢？要解決這個問題得從高考數學應用題本身具有的特征來進行分析，筆者通過對歷年高考數學應用題的分析，總結出可以用以下三句話來避開難點，對高考數學應用題建模：1.算什么？2.他有哪些部分組成？3.如何用已知條件表示？

下面，我們以2018年江蘇高考第17題為例來具體分析。

真題再現：某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點）和線段MN構成.已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上.設OC與MN所成的角為θ.

（1）用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍;

（2）若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3.求當θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.

分析：本小題主要考查三角函數的應用、用導數求最值等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.第（1）問很明確，求矩形ABCD的面積和等腰△CDP的面積，要表示出面積，離不開對長度的計算，此時，我們可以考慮對圖形進行分割，尋找特殊三角形，沒有特殊三角形時可以考慮正、余弦定理或者建系求出關鍵點的坐標.根據以上分析，筆者整理了以下三種求面積的方法，大家可以比較優劣，最終找到通性通法.

解：（1）

解法一：如圖，連結PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以OH=10.

過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，

（或過O作OE∥MN，則∠COE=θ，OE⊥BC）

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）.

過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10.

令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）.

當θ∈[θ0，）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范圍是[，1）.

答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為

1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范圍是[，1）.

注意，第（1）問的難點是準確求出sin的取值范圍，判斷sinθ的取值范圍時，下列方法也是可以的：

a.利用極限位置來處理，當點B和點N重合時，sinθ=

b.sinθ0=

c.因為，，即，故

d.因為，故

e.圖中作出輔助線NG

解法二：

OE⊥BCOE∥MN（或OE∥MNOE⊥BC）

故

所以

設DC中點為Q，因為

所以

故矩形ABCD的面積為

=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面積為

（下同解法一）

解法三：（建系）

過O作OE⊥OP，則OE∥MN，

（或過O作OE∥MN，則∠COE=θ，OE⊥OP）

所以∠COE=θ

以O為原點，OE所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則直線OC的方程為

圓O的方程為：

聯立方程組，解得

故矩形ABCD的面積為

=800（4sinθcosθ+cosθ）

△CDP的面積為

=1600（cosθ–sinθcosθ）

（下同解法一）

注：建立坐標系后也可以得到

矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為

分析：本題第（2）問只要合理利用比例關系表示甲、乙兩種蔬菜的年總產值，就可以利用導數來求最值.常規解法如下：

（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3，

設甲的單位面積的年產值為4k，乙的單位面積的年產值為3k（k>0），

則年總產值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）.

設f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），

則

.

令，得，即θ=，

當θ∈（θ0，）時，>0，所以f（θ）為增函數;

當θ∈（，）時，<0，所以f（θ）為減函數，因此，當θ=時，f（θ）取到最大值.

答：當θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大.

注意，除了以上設法，以下三種設法都可以：

a.設甲的單位面積產值為a，則乙的單位面積產值為a

得

b.設乙的單位面積產值為b，則甲的單位面積產值為b

得

c.設甲的單位面積產值為，則乙的單位面積產值為

得

以上，是筆者對2018年江蘇高考應用題的解構，隨著中學數學核心素養的明確，對數學建模能力的要求愈發提高，如今，很多省份都在嘗試高考改革，降低所學內容難度的同時，對思考應用的要求會提高，我們要提升學生自主發展的能力和動力，就要在教學生解決問題的同時，讓學生學會多角度分析問題，思維不僵化，才能實踐創新，最終實現培養“終生發展的人”的最終教育目標。所以，在以后的教學過程中，我們不妨給學生多指幾條路，多一點探索的時間和機會，因為，只有老師學會放手了，學生才會有展翅的可能。