人教版高中數學教材中的邏輯錯誤辨析

林釗 張帆 朱恩澤 黃榮彬

摘 要：本文根據邏輯學基本知識，分析了人教版高中數學教材中存在的一些邏輯問題，包括自相矛盾的陳述、對象名稱的缺失、違反規則的定義以及不當用詞。數學教材之所以存在這些問題，歸因于教育體制邏輯學教育的缺失導致思維規則的缺失，以致違反思維規則，文章期望引起國家教育部門和權威人士重視邏輯學教育。

關鍵詞：邏輯學;高中數學教材;自相矛盾;定義規則;用詞不當

1.引言

人類的思想行為是有規律的，是自然規律，客觀存在。早在兩千多年前，人類已經認識了思維的一些規律。基于對人類思維規律的認識，亞里士多德始創了邏輯學。邏輯學是關于思維規律的知識體系，是思考的基礎工具，教人如何正確地思考和表達。世界上很多國家在大、中學階段，將邏輯作為一種必修的通識教育。1977年版英國大百科全書將邏輯學列為知識的五大分科之首，即：邏輯學、數學、科學、人文學科、哲學，可見邏輯學的重要性。它們是并列關系，可見邏輯學不是數學。邏輯學的基礎作用是對正確思維的保證和規范，作為一門工具型學科，具有全人類性，規范性和基礎性，是指導人類使用邏輯思維并進行高效交流和討論的必要工具。大學生學習邏輯學對本身素養的提高更是十分必要。但在我國，作為系統的通識教育的邏輯課，已經缺失數十年之久了。這種缺失必然造成嚴重負面影響，使社會呈現出一種思維上的病態，科學創新能力也極低下，在教育界也導致學生邏輯思維能力不足等問題。

邏輯學的系統的通識教育在我們的教育體制整體上是缺失的，但是筆者注意到，也有一些科目的教材介紹了點滴的邏輯學知識。人教版的普通高中數學教材選修1-1[1]有“邏輯常用用語”一章，列出了命題及其關系，充分條件和必要條件，簡單的邏輯連接詞，全稱量詞和存在量詞等內容，可是，即使是這么簡單的一些內容，筆者瀏覽了一下，也發現了許多問題，這可以歸因于教材編寫專家也是出自這個沒有邏輯學系統教育的體制，本身邏輯學知識并不扎實，在實際的學術活動中自覺地正確地應用邏輯學知識的能力不足，形成了一個不良循環。數學被認為是進行邏輯思維能力訓練的基礎學科，數學教材的不嚴謹勢必造成不良影響。

本文就根據《普通高中課程標準（實驗）》編寫的人教版數學教科書中存在的幾個問題提出修正意見，目的是呼吁大家重視邏輯學普及工作，掌握思維規則，提高思維品質。

2.人教版高中數學教材內容的幾個問題

人教版高中數學教材是人民教育出版社根據教育部制訂的課標組織編寫的，筆者偶然機會瀏覽了教材，根據思維規則，審視了一下，發現存在一些不符合規則的內容，列舉如下：

2.1自相矛盾的陳述

教育部制訂《普通高中數學課程標準（實驗）》[2]開宗明義說：“數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮越來越大的作用。”這段陳述包含了若干性質命題和關系命題。

從中我們可以簡言之，數學科學是科學，這是一個性質命題，表示數學是科學大類下的一個小類，數學小類和科學大類可以用歐拉圖表示它們之間的外延關系，它們是種屬關系，不是全同關系，因為還有自然科學，技術科學等科學存在。

“數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎”，這是一個復合的關系命題，數學科學是自然科學的基礎，這一命題是支命題。我們以此關系命題為小前提，以另一命題為大前提，可做如下推理：

如果A（類）事物與B（類）事物之間存在關系（非自身關系），（用p表示）

那么，A事物不是B事物;（用q表示，用p→q表示此充分條件假言命題）數學科學是自然科學的基礎，（p）

所以，數學科學不是自然科學。（q）

推理形式：（p→q）∧p→q

這是充分條件假言命題推理的肯定前件式（MP），是有效的推理形式，大小前提命題真實，推理是可靠的，見圖1

數學科學和自然科學并列，也就是，數學科學不是自然科學，與之等價的命題是，自然科學不是數學科學。

但是，在人教版普通高中數學教材必修1[3]的《主編寄語》中主編卻說：“她（指數學，擬人化的說法，筆者注），是一切科學和技術的基礎”。這里，不再說數學科學了，而是說，數學是科學的基礎。這是一個關系命題，同理，我們可以得出，數學不是科學，與之等價的命題是，科學不是數學，數學和科學是并列關系，它們和學的外延關系是種屬關系。

《普通高中數學課程標準（實驗）》和人教版普通高中數學教材必修1，一個認定“數學是科學”，另一個認定“數學不是科學”，但它們是同一體系，等價于同時認定兩個互為矛盾的命題都為真，違反矛盾律，自相矛盾。

判斷違反矛盾律基本規律，要求是在同一思想過程。根據人教版普通高中數學教材必修1的《本冊導引》中有“我們根據《普通高中數學課程標準（實驗）》編寫了這套實驗教科書”的陳述，由此認定他們是同一思想體系，斷定人教版普通高中數學教材存在自相矛盾的陳述。

2.2名稱缺失

教育部制訂《普通高中數學課程標準（實驗）》引進了集合概念。人教版普通高中數學教材在必修1第一章討論了集合與函數概念[3]，同時還討論了子集概念。在講到子集時寫到：“對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集（subset）”。并且把這種包含關系分為兩種情況，第一種是集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，而且集合B中任意一個元素都是集合A中的元素，即如教材所寫“集合A與集合B中元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B”，接著教材談到第二種情況，集合B中有的元素不是集合A中的元素，“稱集合A為集合B的真子集（propersubset）”。

這就出現了一個問題，第一種情況的集合A該稱為集合B的什么子集呢？也就是說教材沒有給第一種情況的子集這個對象一個名稱來指稱，這做不到“名正言順”，授課時很不好講解。第二種情況，把“propersubset”譯為真子集，也顯欠妥。

為了消除這個缺陷，我們根據概念的劃分知識對子集這個概念的外延提出如下劃分，見圖2：

子集是一大類對象，只有兩種小類，一種是全同型子集（互子集），一種是包含型子集（常子集），圖2（a）。因此，子集的外延劃分可應用“二分法”一分為二，用歐拉圖表示見圖2（b），用樹狀圖表示見圖2（c）。

2.3定義過窄

人教版普通高中數學教材選修1-1[1]有“邏輯常用用語”一章，列出了命題及其關系，充分條件和必要條件，簡單的邏輯連接詞，全稱量詞和存在量詞等邏輯學內容。因此，就有對概念進行定義的內容。它對命題概念下了這樣一個定義：“一般地，在數學中我們把用語言、符號或者式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題（proposition）”。

定義是明確概念內涵的思維方法，一般以一個簡單性質命題來實現，主項是被定義項，謂項為定義項。下定義要遵守規則，其中第一條規則要求定義項概念和被定義項概念外延要是全同關系，違反此規則，則發“定義過寬”、“定義過窄”錯誤。常用的定義方法是“屬加種差”定義法，或者稱之為“大類概念加限制”定義法，限制是通過增加內涵減小外延使概念從大類過渡為小類的思維方法，是劃分的依據。為確保“全同關系”，下定義時先把被定義項概念歸屬為被定義項的大類，然后通過合適的限制使定義項大類過渡為與被定義項概念外延全同。

很明顯，教材對命題概念的定義違反了“定義過窄”規則的定義。

命題是表達思想的語言單位，應屬于語句。該定義應用了“屬加種差”定義法，把被定義項概念歸屬于陳述句，而陳述句是語句的小類。顧名思義，陳述句就是對事物屬性的陳述，既如此，它肯定有所陳述，也就一定可以判斷真假，無需再加“可以判斷真假”的限制，加了倒反成為“不當限制”了。一些非陳述句，如反問疑問句，也可以判斷真假，是命題語句。一般疑問句，祈使句等語句，不能判斷真假，不是命題語句。命題是語句，可以用命題語句指稱，就如化學是科學，可以用化學科學指稱。合乎規則的定義應該是，“可以判斷真假的語句叫做命題”。

2.4用詞不當

人教版普通高中數學教材選修1-1[1]有“邏輯常用用語”一章，著重討論了所謂的“逆否命題”。逆否命題是一個命題，是相對于原命題而言的。原命題是充分條件假言復合命題，即如果p，那么q，這里的p、q是支命題，用符號可表示為：p→q，即命題p蘊涵命題q。對原命題進行了三次邏輯操作而得到了“逆否命題”，其中，對原命題即假言充分條件復合命題的前件p和后件q分別進行否定，得出的命題?p→?q，被謂之為原命題的否命題，這是用詞不當，引起了與原命題真正的否命題?（p→q）的混亂。

教材還用了一個類似性質命題對當關系圖的示意圖來說明命題間的關系[1]，而這個示意圖的四邊所代表的命題之間都是不確定關系，沒有確定的相關聯的命題我們關注它沒有意義。只有兩條對角線所代表的命題關系是等價關系，即同真同假，而這兩條對角線也是等價關系，只是表示符號不同而已。而且，這和性質命題對當關系圖也不一致，性質命題對當關系圖的對角線是矛盾關系，即不同真不同假。為了這兩個等價的所謂“互為逆否”搞一個這么復雜的圖，會把學生搞暈。實際上，它只不過是命題邏輯學中的“蘊涵換位律（Trans）”，（p→q）≡（?q→?p），記住這個公式即可，證明它也很容易。

教材在涉及原命題真正的否命題?（p→q）時，由于否命題一詞已被使用，只好使用“命題的否定”來指稱真正的否命題。可是，命題的否定是行為，不是命題，用命題的否定來指稱命題，實在不妥，筆者建議棄用“逆否命題”一詞。

3.結語

本文對人民教育出版社根據教育部制訂的課標組織編寫的普通高中數學教材中存在的問題提出了糾正意見。數學本就是要著重培養學生推理能力的科目，但是，由于教材編寫的不嚴謹，教學效果會大打扣折。有關專家編寫的教材之所以存在這些問題，筆者認為主要原因是邏輯學教學的缺失導致邏輯學知識的缺失，這相當于缺少思維規則約束。筆者寫此篇短文發表，以期引起國家教育部門和權威人士重視邏輯學教育。

基金項目：國家基礎科學人才培養基金資助（J1310024）

參考文獻

[1]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數學選修1-1A版.北京：人民教育出版社，2007

[2]中華人民共和國教育部制訂.《普通高中數學課程標準（實驗）》.北京：人民教育出版社，2003

[3]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數學必修1A版.北京：人民教育出版社，2007