函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

摘 要：在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，函數(shù)單調(diào)性是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是學(xué)生必須要掌握的知識(shí)內(nèi)容，其對(duì)于提高學(xué)生解題效率和保證解題正確率有著至關(guān)重要的作用。因此，學(xué)生必須要真正的理解和掌握函數(shù)單調(diào)性的概念和性質(zhì)，且能夠靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行解題。所以，本文首先對(duì)函數(shù)單調(diào)性對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義進(jìn)行了簡(jiǎn)要的闡述;其次，從求解方程、求解不等式以及求解導(dǎo)數(shù)等三個(gè)方面對(duì)于函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的探討分析，期望能夠提供一定的參考建議。

關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性;高中數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)應(yīng)用;

一、引言

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，函數(shù)單調(diào)性是重要組成內(nèi)容。函數(shù)單調(diào)性主要描述兩個(gè)變量之

間的關(guān)系，其主要運(yùn)用于求解不等式、求解最值和取值范圍等方面。因此，對(duì)于高中學(xué)生而言，其在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，必須要充分了解和掌握函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)和性質(zhì)，并且在數(shù)學(xué)解題中能夠靈活運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率和解題效率的全面提升。所以，本文將對(duì)高中數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)與應(yīng)用進(jìn)行深入的探索與研究。

二、函數(shù)單調(diào)性對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)是重要組成內(nèi)容，且占據(jù)著較大的比重。因此，學(xué)生為了能夠

提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須要充分的、熟練的掌握函數(shù)單調(diào)性方面的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，能夠深層次的理解函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念和性質(zhì)是前提所在。為了加深印象和理解，學(xué)生可以借助于數(shù)學(xué)教材中的案例進(jìn)行詮釋。其次，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生需要熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的變化效果，掌握函數(shù)單調(diào)性中的重點(diǎn)和核心知識(shí)，提高知識(shí)運(yùn)用的靈活性。最后，學(xué)生可以對(duì)函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行歸納和總結(jié)，形成系統(tǒng)性的、完整性的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加深記憶與理解，為今后其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。總之，函數(shù)單調(diào)性對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

三、函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

（一）求解方程方面的具體應(yīng)用

方程是高中數(shù)學(xué)題的組成內(nèi)容之一，主要是利用等式來(lái)求解未知數(shù)，占據(jù)著至關(guān)重要的

地位。因此，將函數(shù)單調(diào)性相關(guān)知識(shí)充分運(yùn)用到數(shù)學(xué)方程中，將會(huì)促進(jìn)解題效率得到全面提升。例如，在求解方程式“x3+2x+（x+1）3+1=0”過(guò)程中，可以借助于函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念，將該方程式拆項(xiàng)再湊項(xiàng)轉(zhuǎn)化成為“x3+x+[（x+1）3+（x+1）]=0”，由于函數(shù)f（x）=x3+x在區(qū)間（-∞，+∞）恒為單調(diào)增函數(shù)，且為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）。因此，利用該函數(shù)性質(zhì)，可以將原方程轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)為積奇函數(shù)的性質(zhì)，即，同時(shí)，又由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可知，所以可以求解得知x=-0.5。所以，在該例題求解過(guò)程中，將函數(shù)奇偶性與函數(shù)單調(diào)性兩者相結(jié)合，不僅可以將原方程進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，還可以提高解題速度。

（二）求解不等式方面的具體應(yīng)用

學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，若由于對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)等方面知識(shí)掌握不夠全面和深入，其在使用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行求解時(shí)會(huì)存在著較大的難度，必然會(huì)對(duì)解題效率造成一定的影響，解題正確率也無(wú)法得到有效的保證。因此，在高中數(shù)學(xué)不等式求解過(guò)程中，若學(xué)生能夠巧妙的運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，將會(huì)大大縮短解題時(shí)間，同時(shí)，使得解題正確率也可以得到提升。學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求解不等式時(shí)，應(yīng)該明確不等式的具體分類(lèi)，并且將函數(shù)單調(diào)性與數(shù)形結(jié)合以及換元等方法相結(jié)合來(lái)求解，使得解題效率和正確率可以得到保障，同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生解題能力和邏輯思維能力得到充分的鍛煉和培養(yǎng)。例如，在求解下述例題中“已知a、b、c∈R，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，請(qǐng)證明ab+bc+ca+1>0”，在求解該不等式，可以將題目轉(zhuǎn)換為f（x）=（b+c）x+bc+1，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，可知當(dāng)x∈（-1，1），f（x）>0恒成立。然后，當(dāng)b+c=0時(shí)，此時(shí)f（x）=1-b2>0也是恒成立的。若b+c≠0時(shí)，由于一次函數(shù)在x∈（-1，1）上具有單調(diào)性，恒大于0，所以當(dāng)|a|<1，|b|<1，|c|<1時(shí)，f（x）>0也是恒成立的。所以，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性原理，可以保證解題答案的完整性。

（三）在求導(dǎo)問(wèn)題中的具體應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，求導(dǎo)問(wèn)題是重要的題型之一。運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性可以有效解決求導(dǎo)問(wèn)題。在導(dǎo)數(shù)求解過(guò)程中，首先，學(xué)生需要充分的、熟練的掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)，準(zhǔn)確了解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的具體應(yīng)用方向;其次，學(xué)生必須要深刻理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及深刻含義，掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的典型題型，便于靈活選擇合適的方式進(jìn)行求解，提高解題效率。在導(dǎo)數(shù)求解過(guò)程中，針對(duì)部分題型，學(xué)生可以考慮利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行相應(yīng)的求解。例如，有如下例題“y=x2-x3+5，請(qǐng)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并且求解該函數(shù)的區(qū)間。”首先，得到該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為y'=2x-3x2，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)，求解得到兩個(gè)值分別為0和2/3，因此，可以將x分為x∈（-∞，0）、x∈（0，2/3）以及x∈（2/3，∞）這三個(gè)范圍分別討論。因此，可知當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，導(dǎo)函數(shù)恒小于0，即函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)x∈（0，2/3）時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值恒大于0，則可知該函數(shù)y在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);當(dāng)x∈（2/3，∞）時(shí)，導(dǎo)函數(shù)恒小于0，則該函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)為減函數(shù)。由此可見(jiàn)，由導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性兩者之間的聯(lián)系，可以達(dá)到快速解題的目的。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可以促進(jìn)學(xué)生解題效率的提升，同時(shí)還可以保證解題的正確性，化難為簡(jiǎn)，有效降低題目的難度。函數(shù)單調(diào)性對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的作用。因此，學(xué)生必須要充分掌握函數(shù)單調(diào)性的具體應(yīng)用場(chǎng)合和應(yīng)用技巧，對(duì)于所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納和總結(jié)，從而促進(jìn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的有效提升。

參考文獻(xiàn)

[1]薛志量.談高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)[J].才智，2017（12）：20.

[2]蔡明果.關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性解題方法探討[J].數(shù)理化解題研究，2017（01）：45.

作者簡(jiǎn)介：柏元兵（1970.08-）男，江蘇鹽城人，江蘇省大豐區(qū)新豐中學(xué)數(shù)學(xué)組教研組長(zhǎng);高級(jí)教師（大豐區(qū)教學(xué)能手），研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。