一道數學競賽題的研究

易志偉

上面這道題是筆者在準備高中數學聯賽講義時遇到的，其中[1]在書中提供了兩種解法，解法一是標答，解答略有冗長，而看到解法二時，筆者眼前一亮，現將解法二分享給讀者，這是一個簡潔且優美的解答。

總的來說，上面的這種解法有一定的技巧性，最主要的是對|Sk -Tk|的估計（因為對St.Tt，下標l的選取并不關鍵），而對于這種估計的方法，我們有一個熟悉的名字“截斷技術”，而截斷技術的關鍵就同它的名字一樣：“截斷量”，有時截斷量的選取是題目中已提示我們的，但也有一些截斷量的選取是構造性的（如同題1），需要我們自己去創造。

下面這道題是筆者從一個三元不等式（韓京俊《初等不等式的證明方法》一書中某題的一個引理）中提出來的”元形式，若使用截斷技術會使此題十分容易，同時顯得截斷量是明了的。

回顧一下題2.這道題我們之所以說，截斷量是顯然的，是因為題目中的形式提示我們使用Bernoulli，而當使用Bernoulli時遇到的困難，自然提示我們從1截斷然后就得證，

下面我們來看一道同樣是使用與題2類似的截斷技術，但難度要大一些，截斷量也不易見。

在上面這道題中，截斷技術并未起到最主要的作用，（但使用的過程扔是本質上的，關鍵的！）

這同時也啟發我們，有時在處理一些綜合的問題時，使用截斷技術，能夠幫助我們處理掉一些細小的步驟，逐步分析。