基于學生深度體驗的高中數學概念教學變革

馮小輝 陳其東

摘 要：由于數學是一門基于基本概念的學科，理解數學概念的性質不僅會促進學生對于教學科目的深入領會，還將增加他們對數學知識學習方法的理解。在本文中，通過“函數的單調性”的概念教育實例，學生實際體驗了函數單調性的概念化過程，分析了學生有效的深度體驗，給出了學科深藏的知識，方法，態度，價值觀，并創造了情感和意義，以提高學生的數學學習成果。

關鍵詞：數學概念;核心問題;深度體驗;反思

引用一位高中數學教材編寫老師的話說： “數學概念，數學方法和數學思想的起源和發展都是自然的。如果有人認為某個特定的概念是不自然的，并且是強加于別人的，那就考慮一下背景，它其實是通過塑造，應用和與其他概念相關的合成過程，你就會發現它實際上是自然的產品。”這其實就是概念教育的基本意識形態，數學課程的第一步必須促進概念的順暢學習與掌握，否則，它是不會被稱為“教學數學”和“學習數學”。在課堂教學中，概念教學的水到渠成必須包括兩個方面：首先是知識的邏輯順序自然：其次是學生心理思考順序的自然，這主要是一個思維的過程。“自然概念課程”是上面兩個方面的結合，重點是在“引導學生參加概念定義活動”與此同時引導學生開始與數學相關的學習過程的思維引導學生開始與數學相關的學習過程的思維。老師要離開在及時的過程中加深對概念的理解， “用問題引導活動”和“一對一反思（問題）”。使“概念的理解”成為學生自己主動思維的結果[1]。筆者所在的川大附中實施核心問題概念教學時更是提出：概念教學研究的著眼點，不只在于對文本數學知識意義的理解與掌握，而是在獲得對數學概念本質理解和掌握的同時，形成學生在活動體驗基礎上的學習。筆者在課堂教學實踐中采用了核心問題教學“提出問題——解決問題——反思提升——運用反饋四個環節”[2]進行數學概念教學，效果比較顯著。

一、立足學生深度體驗變革數學概念教學的案例分析

下面筆者就以執教的《函數的單調性》一課為例，探討高中數學課堂如何立足學生深度體驗，讓數學概念的形成水到渠成。

（一）貼近生活的核心問題是促進學生理解數學概念的基石

在本節的課程中，學生將必須要使用溫度變化圖表和股價圖表，假設存在許多有關實際的數據來看出如何變化的示例。根據生活經驗，學生就可以從函數角度快速進入對于“圖像”的描述，溫度變化圖、股票價格走勢圖等例子反映的就是函數值隨自變量的變化在變大還是變小，學生對中學此功能的性質有所了解，但沒有嚴格意義上的定義。現在需要一個關鍵問題來動員和激發學生進行更多的自我探索的熱情。老師在這個理解的前提下應該給出關鍵性問題：畫一幅函數的圖并用符號語言簡述自變量以解釋函數值的增減規律。針對核心問題的前半節：請任畫一個函數圖象，學生都自主探究，學生能夠親身經歷就有了體臆，就會引起感覺，就達到了體臆的最低層次：經歷。

針對核心問題的后半節：使用符號語言來描述函數的增減規律，以及自變量的變化。如何將圖形特征轉換為自然語言并將自然語言轉換為數學符號語言是學生要首要解決的客觀性問題，在教學過程中，學生可以充分體驗從特殊到一般，從具體到抽象的過程。在這種學習的基礎上摘要增（減）函數的本義，讓學生真正體會到三種語言在轉化中的關聯并進行深層次體臆，從而為學生形成知識方法的表象特征打下了堅實的基石。

這種情況下的關鍵問題是“筆者將通過編寫函數圖像并使用符號語言表現出值由著自變量變化來說明函數值的增加和減少”。爭取讓學生知道函數單調性的這個概念，從此處去了解其該如何進行定義，如何開始研究新的課題，學生對概念的深度體臆就是靠學生親身在情境中感受、踐行的過程，那么，就要一個主線引領學生去踐行，從上面核心問題的定義與表達要求，完成核心問題的過程就是學生體臆的過程，同時，更為重要的是，本節課的核心問題前后兩節是相互關聯的，學生完成核心問題的過程就是進行關聯體臆的過程，親身體臆知識發展軌跡的過程。

（二）真實豐富的深度體驗是促進學生理解數學概念的催化劑

在理解了核心問題之后，大多數學生都能作圖一次、二次、反比例、分段函數，能作出這些類型的函數：

在繪圖過程中，學生可以了解圖形趨勢中的單調特征以形成視覺效果和視覺模擬，并且教師可以通過向學生展示圖片并及時提供豐富的感官材料來使圖形語言體現函數單調性概念。函數組成的概念是一種間接的方式，可以直觀地通過識別圖像中函數的組成，然后也可以以自然語言（文本語言）表達對函數組成的概念的理解，與此同時也從側面提供了確定函數單調性的方式

圖像法。

在這個過程中，大多數學生能夠用最直接淺顯的語言：“從左向右看，如果函數f（x）在某個區間上圖象上升，則稱函數f（x）在該區間上為增函數;如果函數f（x）在某個區間上圖象下降，則稱函數f（x）在該區間上為減函數”，或者“從左向右，若圖象成上升趨勢，則稱函數為增函數;如果圖像從左到右顯示下降趨勢，則此函數稱為“遞減函數”，用這個來說明對該函數的增加和減少的理解。

數學概念的形成來自解決實際問題和數學自身發展的需要。在課堂中筆者再結合具體函數比如f（x）

x，x≥O= 1/x，x<0及其圖象，嘗試用數學的圖形語言、文字語言、符號語言逐一描述函數在哪個區間為增函數或減函數？對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到“從左向右看”的本質是自變量增大，圖象“上升”或“下降”的本質是函數值變大或者變小，從而函數單調性的本質在于函數值和自變量之間保持相同或者相反的大小變化關系。學生用數學符號語言描述圖形語言、文字語言，形成對具體函數單調性的符號語言上的認識，邁出了對函數單調性本質認識的關鍵一步。

在指導學生進行有關單調函數概念理解的活動時，作者主要抱著“使學生積極參與概念活動中”和“不輕易干擾學生的思想和活動”以及及時性和課程性的概念。對此，在“問題（質疑）一對一反思”課程中，逐步進行的“問題指導活動”加深了學生對“單調函數”概念的理解。使“概念理解”成為學生自己主動。

經過這個過程，學生不僅對所探究的函數單調性的來源、成長過程與成長方法、本質與結構等有著透徹的認識，飽含情感的深度體驗更是成為促進學生理解數學概念化的催化劑。課堂上思維的碰撞，不僅是師生之間、生生之間智慧的交鋒，更是師生、生生之間情感的溝通，達成了課堂“產生情感而生成意義”的教學目標，進一步促進了學生心靈的深度體驗。

（三）層層深入的反思提升是促進學生概括概念本質的升華

在反思和改進的過程中，學生探索了函數特定功能的基本特征，作者指導他們回顧學習過程，要求學生從性質的定義轉換為含義，并提供對遞增功能的準確定義（符號語言）。然后抽象得出一個類比也就是減函數的含義。由于了解特定功能的定義，學生可以輕松達到單調的一般定義。

對于屬于定義域內某個區間上的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2），稱f（x）為該區間上的減函數。至此，學生經歷了由特殊到一般、由具體到抽象，最后歸納出單調性函數的定義的過程，并生成了對抽象函數單調性的符號語言上的認識。

同時，教師還要適時適切地引導學生概括出知識中蘊含的思想方法和探究知識的思維方法：①函數的圖形語言、文字語言、符號語言的等價轉化;②特殊到一般的思想方;③直觀到抽象;④數形結合;⑤類比等。筆者根據學生具體情況，通過符號語言的轉化，促進學生對函數單調性的深度體驗（差商理解）。用差商y2-y1/x2-x1 >0描述“x1

商差結果不但能夠用來判別函數的增加或減少，還可以反映丁對與百分比的變化率。這種處理辦法還具有著一目了然的幾何意義，為早期了解導數開辟了道路。

這樣讓學生既形成了數學概念的知識，又形成了數學概念的思想方法，將核心問題解決問題中涉及的關聯體驗進一步提升，這樣本節課又上升了一個層次，上升到形——數——形的關聯，體驗三種語言間的關聯，層層深入的反思提升促進了學生對概念本質的理解與升華，這就形成了數學概念教學的核心：以常見和豐富的例子為載體，打開數學家對數學概念的關注，觀察和分析每種情況的性質，整理和總結共同的基本性質，并指導學生獨立總結出數學的概念。

（四）高效精準的運用反饋是促進學生體驗概念關聯的內化

在運用反饋環節，學生經歷了數學概念的生成過程，還需要對數學概念的理解進行內化，筆者在運用反饋環節中側重檢測學生深度體驗圖形語言、自然語言及符號語言在相互轉化中的關聯情況。筆者選取了生活中的應用案例進行課堂檢測：

某汽車租賃公司的月收益y元與每輛車的月租金x元間的關系為y=x/50 +162x- 21000，請畫出圖象觀察，并描述月收益隨月租金的增加的變化情況？并用定義證明之。學生將自己探究出的數學知識與方法解決來實例，讓學生將三種語言在轉化中的關聯應用，反思解題思路，再次深度體驗到定義證明函數性單調性的步驟。高效精準的運用反饋促進學生體驗概念關聯的內化，學生不僅實現了目標的達成，最終內化成自己的數學知識方法，逐漸形成了學生內在的緘默知識，也為以后探究函數的其他性質做好了鋪墊。

這一環節實際上是辨析、運用、“精致”函數單調性的概念：一種是分析概念 就是使用示例作為參數來研究關鍵字的含義，另一種是整合和應用概念集成到概念系統中并與相關概念連接。

二、立足學生深度體驗變革數學概念教學的

案例反思

李邦河院士指出：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”課堂結束后，筆者認真反思了課堂教學，并認為數學概念解決了實際問題，并且還認為有必要發展數學本身。但是，這個概念非常難以理解，導致了學生應該進行實際的學習活動去了解概念，從自己經驗和已有的知識基礎出發，經歷“數學化”、“再創造”活動過程[1]。結合本節課的核心問題數學，筆者還認識到：數學概念教學促進學生深度體驗的實質就是理解數學、理解學生、理解教學，它是一個多側面、多層次、無止境過程。

首先，了解數學意味著對數學知識的來源、成長的過程以及所教數學的性質和結構有透徹的了解。換句話說，要理解數學知識，得使用“核心問題教育”來提高數學精髓，例如“怎么來和去哪里”，知道本質，結構和教育價值和自身對于數學的理解。將靜態的，成熟的和不利的學生轉變為能接受和容易消化的數學學術形式，將其轉變為動態的，發展的，更有營養的，營養豐富的數學教育形式。

其次，理解學生是指教師清楚學生的認知起點;清楚學生已有認知結構與新知識之間的潛在距離;清楚學生的認知障礙;清楚學生的認知規律;清楚不同學生間的認知差異。以核心問題教學促進理解學生的實質是教師準確地把握學生學習的基礎、潛能、需求、困難與差異，為以學定教、以導促研提供準確的信息與依據。

最后，了解教育將使教師了解數學的性質和功能，掌握特定的教學方法和教育藝術，了解學生的認知規律和基本教學原理，并將教育和學習視為一個有機的，相互加強的整體。這意味著數學教育的價值可以為不同的學生提供不同的數學。清楚將不同類型的知識用不同的方式呈現給不同學生的策略與方法。以核心問題教學促進理解教學的實質是以研定導，以導促研，實現教育價值與效益的最大化。

參考文獻

[1]張峰.淺談新課標下的高中數學概念教學[J].江蘇第二師范學院學報：自然科學版，2010，（4）：59 -60.

[2]周光岑，核心問題教學研究[M].成都：電子科技大學出版社，2009.

[3]周文良.核心問題教學中的學生深度體驗研究[M].成都：電子科技大學出版社，2017.