路面病害預測的數學模型

摘??要：本文建立的是路面凹凸變化的數學模型，隨著我國的經濟建設高度快速發展，城市路面和高速公路的路面損毀嚴重，尤其是北方嚴寒地帶。實時提取道路統計數字，根據數字的統計規律建立數學模型，預測路面病害，從而及時修補和保養。

關鍵詞：路面凹凸;數學模型;高程

1?引言

時間序列分析是統計學科的一個重要分支內容，在數字信號處理、管理科學、預測等方面得到了廣泛應用。在實際路面測量中，只能測到路面不平度的有限數據，利用時間序列分析的主要任務就是根據觀測數據的特點為數據建立盡可能合理的統計模型，然后利用模型的統計特性去解釋數據的統計規律，以達到控制或預報的目的。

本文研究的是路面測量的數據采集，用數據驗證時間序列的變化模型，由此可預測道路路面病害。通過論述了路面凹凸變形的時序建模方法、實際檢驗和模型應用，獲得道路實測數據的時序模型，為路面病害程度做預測。通過長時間研究實踐證明，所采用的時序道路建模具有可操作性。

2??時間序列數學模型

時間序列方法是定量預測方法之一。主要包括一般統計分析（如自相關分析，譜分析等），統計模型的建立與推斷，以及關于時間序列的最優預測、控制與濾波等內容。經典的統計分析都假定數據序列具有獨立性，而時間序列分析則側重研究數據序列的互相依賴關系。后者實際上是對離散指標的隨機過程的數據進行的統計分析。例如，記錄了某路段的不同時段的路面高程，建立探究數據所包含的動態依存關系，所以又可看作是隨機過程統計的一個組成部分的數學模型，可以對未來時段路面的高程變化進行判斷，并借以對路面凹凸變化的未來進行預報。

時間序列趨勢分析目的：有些時間序列具有非常顯著的趨勢，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對序列的發展作出合理的預測。

通過數據分析，線性擬合的使用場合為長期趨勢呈現出線形特征的場合。參數估計方法為最小二乘估計。

其模型為

非線性擬合的使用場合為長期趨勢呈現出非線形特征的場合。其參數估計的思想是把能轉換成線性模型的都轉換成線性模型，用線性最小二乘法進行參數估計。實在不能轉換成線性的，就用迭代法進行參數估計。

其模型有

時間序列預測法可用于短期預測、中期預測和長期預測。根據對資料分析方法的不同，又可分為：簡單序時平均數法、加權序時平均數法。

簡單平均數法：也稱算術平均法。即把若干歷史時期的統計數值作為觀察值，求出算術平均數作為下期預測值。這種方法基于下列假設：“過去這樣，今后也將這樣”，把近期和遠期數據等同化和平均化，因此只能適用于事物變化不大的趨勢預測。如果事物呈現某種上升或下降的趨勢，就不宜采用此法。

加權平均數法：把各個時期的歷史數據按近期和遠期影響程度進行加權，求出平均值，作為下期預測值。

3?建立道路時間序列數學模型

3.1?采集數據進行數據處理

本文所用到的數據是對實際路段測得。是采用電腦自動化檢測技術、將采集的數據存入在檢測車上的便攜式處理器，進行數據處理。檢測車可以同時測量一個行車道斷面的16個點，并且可以連續密集的采集路面表面的數據。實際檢驗具有一定的精準性，驗證該儀器的測量相對誤差均在1%以下，如表3-1所示，完全可以滿足工程要求[4]。

本文所采用的數據是道路綜合所得，橫向一共有16個測點，每點間隔0.2米，截取其中50米路段的數據進行實際建模。

3.2?確定模型參數和檢驗模型適用性

根據所測得和選定的參數，得到模型參數的估計值。常用的估計模型參數的方法有矩方法、最小二乘法和極大似然法。當樣本滿足正態分布且足夠長時，采用最小二乘法估計參數可得到與采用極大似然法基本一致的結果，最小二乘法就是使得殘差平方和達到最小條件下所得到的對未知參數的估計值?？梢酝ㄟ^對時序模型的譜估計轉化得到對模型參數的估計，而其中參數化的譜估計以最大熵譜估計方法為代表，與AR模型的線性自回歸不同，ARMA模型的回歸是非線性的，不能用最小二乘法估計出模型的參數，而需用非線性最小二乘法——泰勒級數展開線性化或廣義最小二乘法，其計算過程復雜、計算量很大。常用矩方法估計ARMA模型參數，也可用二級最小二乘法估計模型參數，即首先導出一足夠高階的AR模型，然后利用AR模型估計ARMA模型的輸入輸出互相關特性并進而確定其參數。

3.4進行模型適用性檢驗，時序方法中發展了一系列的準則以檢驗模型的適用性，這些準則主要有：白噪聲檢驗準則，殘差平方和檢驗準則。適用性檢驗對于時序模型而言，實質上就是模型定階，尤其對ARMA模型，可以稱這些準則為定階準則。如果模型通過了適用性檢驗則模型是正確的，且具有所需的模擬精度，該模型能被外推用于道路數據庫模型中。

由于時間序列模型建立在嚴密的統計學理論基礎之上，因此對樣本的容量、樣本的性質有一定的要求。首先，它要求樣本容量最好要50個以上只有這樣才使得后模型診斷與檢驗有意義;其次，它要求樣本時間序列必須是一個平穩過程。

選擇的樣本除了滿足上述兩個條件以外還要要滿足使用近期的數據這樣對以后路面研究的實用性更強。本文的樣本選取長度為50米。由于檢測車每隔0.2米一測，所以一共250個數據點，顯然，該序列為隨機時間序列，其容量滿足條件要求。

作者簡介：王佳秋（1964.08-），女，漢族，江蘇蘇州人，廣東科技學院，教授，碩士，研究方向為系統科學。