兩個(gè)重要不等式證明及拓展應(yīng)用

張航程

在教學(xué)實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)人教A版選修2-2P32習(xí)題1.3B組第1題

（3）ex≥x+1（x∈R），當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立.

（4）x≥1+ln x（x>0），當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立.

這兩個(gè)經(jīng)典不等式在解題中應(yīng)用廣泛，不但在選擇題中有變形應(yīng)用而且在解答題中也隱形出現(xiàn)，若不能研究透本質(zhì)就會(huì)給解題帶來障礙。今天就不等式證明和應(yīng)用方法進(jìn)行剖析，以饗讀者。

A.以下通過函數(shù)圖像直觀驗(yàn)證，并利用函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式。

利用函數(shù)的圖像（如圖），不難驗(yàn)證上述不等式鏈成立.

1.問題源于求曲線y=ex在（0，1）處的切線及曲線y=ln x在（1，0）處的切線，通過觀察函數(shù)圖像間的位置關(guān)系可得到以上結(jié)論。也可構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-x-1與g（x）=x-ln x-1利用函數(shù)單調(diào)性對以上結(jié)論進(jìn)行證明。（讀者可自己試證）

2.兩個(gè)不等式從本質(zhì)上看是一致的，第（4）題可以看作第（3）題的推論.在第（3）題中，用“l(fā)n x”替換“x”，立刻得到x>1+ln x（x>0且x≠1）。

進(jìn)而得到一組重要的不等式鏈：ex>x+1>x-1>ln x（x>0且x≠1）.

B.不等式在選擇題中應(yīng)用

1? ?已知函數(shù)f（x）= ，則y=f（x）的圖像大致為（ ）

解析 因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)?/p>

即{x|x>-1，且x≠0}，所以排除選項(xiàng)D.

當(dāng)x>0時(shí)，由經(jīng)典不等式x>1+ln x（x>0），

以x+1代替x，得x>ln（x+1）（x>-1，且x≠0），

所以ln（x+1）-x<0（x>-1，且x≠0），即x>0或-1<x<0時(shí)均有f（x）<0，排除A，C，易知B正確。通過以上代換利用經(jīng)典不等式很容易解決一個(gè)看似復(fù)雜的單選題。

C.不等式在簡單證明題中應(yīng)用

2? 證明：ex-ln x>2.

注意到ex≥1+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)），

x-1≥ln x（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），

∴ex+x-1>1+x+ln x，故ex-ln x>2.這道題應(yīng)用兩個(gè)經(jīng)典不等式證明比應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)證明簡單的多，一定程度上降低了證明的難度，提高了解題速度和正確率。

3? 已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R.證明：曲線y=f（x）與曲線y= x2+x+1有唯一公共點(diǎn).

證明 本題采用構(gòu)造函數(shù)法? ?令g（x）=f（x）- =ex- x2-x-1，x∈R，

則g′（x）=ex-x-1，

由經(jīng)典不等式ex≥x+1恒成立可知，g′（x）≥0恒成立，

所以g（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且g（0）=0.

所以函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn).

D.不等式在較復(fù)雜證明題中應(yīng)用

4（2017·全國Ⅲ卷改編）已知函數(shù)f（x）=x-1-aln x.

（1）若f（x）≥0，求a的值;

（2）證明：對于任意正整數(shù)n，? <e.

（1）解 f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

①若a≤0，因?yàn)閒 =- +aln 2<0，所以不滿足題意.

②若a>0，由f′（x）=1- 知，

當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）<0;當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）>0;

所以f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，

故x=a是f（x）在（0，+∞）的唯一最小值點(diǎn).

因?yàn)閒（1）=0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥0，故a=1.

（2）證明 此處證明不易找到方法，但通過對（1）分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=1時(shí)可出現(xiàn)形如：x≥1+ln x（x>0），當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立的式子，受它啟示則當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x-1-ln x>0.

此時(shí)賦值令x=1+ .

從而l =1- <1.

故 <e.這樣便可輕而易舉證明不等式。

所以e0·e1·e2·…·en-1>1×2×3×…×n，

即e >n！，

通過以上實(shí)例發(fā)現(xiàn)無論選擇題還是證明題這兩個(gè)經(jīng)典不等式在其中所起作用都很關(guān)鍵，熟練掌握和應(yīng)用它們對這一類問題可迅速解答。

（作者單位：陜西省城固縣城固第一中學(xué)）