關(guān)于兩個(gè)優(yōu)美不等式的思考
2019-09-10 07:22:44郭全太
科學(xué)導(dǎo)報(bào)·學(xué)術(shù) 2019年49期
郭全太
文獻(xiàn)[1]用點(diǎn)到直線的距離公式的幾何意義巧妙證明了5個(gè)代數(shù)不等式，受其啟示，筆者對(duì)文中的例2，例3，亦是下文中的問題1，問題2，從方法論方面做了些思考，現(xiàn)寫出來，僅供參考。
問題1：已知
，且
，求證：
。
證明：因?yàn)?img alt="" height="13" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml3284＼wps159.png" width="60"/>，所以點(diǎn)
在直線
上，則點(diǎn)
與點(diǎn)
的距離
，
因此
.
命題1：已知
且
，求證
證明：因?yàn)?img alt="" height="18" src="file：///C：＼Users＼ADMINI～1＼AppData＼Local＼Temp＼ksohtml3284＼wps169.png" width="143"/>，所以點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足關(guān)系式
，由柯西不等式知，點(diǎn)
與點(diǎn)
的距離
因此
。
特別的，取
時(shí)便得問題1。
問題2 ?設(shè)
且
，
求證：
。
證明：有
得
，因此
在直線
上，所以點(diǎn)
與點(diǎn)的距離
的距離
于是
。
命題2 ??已知
且
且
，求證
。
證明：
得
，
因此點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足關(guān)系式
由柯西不等式知，點(diǎn)
與點(diǎn)
的距離
于是
。
特別的，取
時(shí)便得問題2。
取
時(shí)，則
。
若用
替代命題2左端的
，可得
命題3 ?已知
且
，求證
。
當(dāng)
時(shí)，即為常見的不等式;
當(dāng)
時(shí)，則
。
參考文獻(xiàn)
[1] ?仝秀旺，利用點(diǎn)到直線距離的幾何意義巧妙證明不等式[J]數(shù)學(xué)教學(xué)2019[4]：15-16。
