關于羅爾中值定理的若干推廣及其證明

高慶武

摘 ?要：羅爾中值定理是數學分析中最重要的結論之一，也是研究函數特性的理論基礎和有力工具.本文將對羅爾中值定理的推廣結論作進一步的討論與總結，這有助于學生加深對該定理的理解.

關鍵詞：羅爾定理;推廣;證明

中圖分類號：O171 ??????????????文獻標識碼：A

1.前言

周知，微分中值定理是研究函數特性的理論基礎和有力工具，它不僅是數學分析中最重要的結論之一，而且在以數學分析為基礎的后續課程中，也是研究問題的重要輔助手段，發揮著重要的作用.微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理以及泰勒定理，其中羅爾中值定理是最基本的也是應用最廣泛的中值定理.首先給出羅爾中值定理的內容，參見文獻[1-3]等.

羅爾（Rolle，1652-1719）定理：若函數滿足如下條件：

（1）在閉區間上連續，

（2）在開區間內可導，

（3），

則在內至少存在一點，使得.

本文試圖對羅爾中值定理的推廣性結論作進一步的思考和總結，具體如下：

（i）將該定理中的有限閉區間條件推廣至更一般的有限開區間、半無限區間或、無窮區間的條件;

（ii）將條件推廣至極限形式，即，其中可能為，此時是指;類似地，可能為，此時是指.

2.主要結論及其證明

本節將敘述本文的主要結論，其中定理1考慮有限開區間情形.

定理1 設函數在內可導且，則在內至少存在一點，使得.

證明：令

顯然，滿足羅爾中值定理的條件，故存在，使得.

在第二個定理中，我們討論無窮區間上的結論.

定理2 設函數在內可導且，則在內至少存在一點，使得.

證明：令，，，且.從而由定理1知存在，使得.因此取，則.

本文的最后兩個定理分別考慮半無限區間或情形.

定理3 設函數在內可導且，則在內至少存在一點，使得.

證明：取，令，此時可以轉化為定理1. ￡

定理4 設函數在內可導且，則在內至少存在一點，使得.

證明：類似定理3的證明可得. ￡

3.總結

羅爾中值定理作為最基本的也是應用最廣泛的微分中值定理，學好弄懂該定理及其推廣形式對后續微分中值定理以及數學分析中的其他內容的學習是至關重要的。因此，筆者認為在教學過程中只要講透徹該定理的條件和結論，講清楚該定理的推廣思路和方法，由易到難，層層推進，這樣不僅能夠培養學生的分析能力和分析思維，也能夠激發學生強烈的求知欲與學習興趣。

參考文獻

[1] ?徐森林，薛春花.數學分析（第一冊）[M].北京：清華大學出版社，2005年9月.

[2] ?華東師范大學數學系.數學分析（上冊）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006年.

[3] ?陳紀修，於崇華，金路. 數學分析（上冊）（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004年.