關于圓中角平分線問題的一點思考

何懌熹

【摘 要】初三對圓的教學而言，是一個難點，又是一個重點。它往往會綜合初中階段所有的幾何知識。學生往往在解題時碰到與圓相關的問題時，特別是做到成都市中考題的第2、3問總有一種苦不堪言的感覺，中下水平的學生更是無從下手，看到此題便各種畏懼，老師教學時學生聽不懂也往往總是一聲嘆息。但是每每看到學生把圓問題的3問解出來后臉上的那種喜悅與亢奮愈發激發了我要與學生共同探究共同攻克難關的決心。當然，首先從我做起，分享下與學生共同探究，一題多解的過程，也談談在圓教學中碰到的最多的角平分線問題給我的一些思考。

【關鍵詞】角平分線;模型;圓

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0041-03

1? ?圓中角平分線模型圖的建立

圓中的性質定理特別多，但是分類下來無外乎就涉及角、弧、線段三方面的位置關系和數量關系，研究其本身圖形特點及與其三角形、四邊形的綜合問題時實際也是從這三方面出發，只是探究其彼此之間更深層次的關系而已[1]。于是我把初三階段用得比較多的圓中角平分線問題做了一個關系梳理，引導學生從基本圖形中挖掘出常見的結論以及已學的性質定理、基礎模型圖等綜合形成圓中角平分線模型圖，并將其遷移至實際解題中去。

1.1? 有直徑，圓中角平分線平分銳角

基本模型及基本結論：

此模型的結論也是看圖分析的過程，從角的關系到線的位置和數量關系以及線段的組合關系都給了各種知識的交互使用，可以在后面很多圓的題型中剝離出此模型圖的分支來，學生在解題時可運用模型圖的思考迅速地識圖并找到對應關系，快速解題。

1.2? 有直徑，圓中角平分線平分直角

基本模型及基本結論：

此模型在上一模型的基礎上拓展延伸，從角的關系到線的位置數量關系，以及特殊三角形，全等圖形的構造，旋轉的運用，可以關聯到圖形中面積恒等即定值的問題。融合了多種圖形的分析思路，當把此圖作為模型圖給學生分析透后，學生自然會感受在復雜圖形中抽絲剝繭還原到我們最原始的基本圖形中來。

2? ?圓中角平分線模型的運用

例題：圖2，半圓⊙O的直徑AC=6 cm，弦AB=10 cm，將半圓沿著過點A的直線折疊，折疊后使得弦AC恰好落在直徑AB上，則折痕AD的長為____cm.

此題看似屬于翻折問題，但是不同于之前三角形和四邊形的翻折過程會出現線段相等，實質上AD就是圓中∠CAB的角平分線，即∠CAD=∠DAB，如何對這個題給學生做分析，我做了如下引導：

（1）從角的關系出發：兩角相等，由圓中角的性質來看，兩角均屬于圓周角，因此可利用轉換思想考慮弧等對應的圓心角與圓周角的關系。

法一：①首先在等弧條件下，2倍弧所對的圓周角=1倍弧所對的圓心角，這個其實也是基本模型圖1中第（1）（2）條的結合。

具體做法：連接BC、OD交于點M，過點D做DH⊥AB于點H，由∠CAD=∠DAB推其圓周角所對的弧等，再充分利用等弧條件下：2倍弧所對的圓周角=1倍弧所對的圓心角，得到等角關系，最后在RT⊿ACB=90o利用勾股定理以及三角函數的關系求得DH、OH的長。

法二：②由上述的角等可推線平行，再用平行線分線段成比例也就回歸到我們圓中角平分線基本模型圖1中的第5條，中位線的原型即顯露出來，再利用勾股定理來解決就顯得非常順暢了。

具體做法：連接DB，可由∠CAB=∠DOB推得OM∥AC，再由平行線分線段成比例推得OM為⊿ABC的中位線，求得OM、BM和DM的長度，此時在Rt⊿DMB中，運用勾股定理可求DB長度，最后在Rt⊿ADB中，求得AD長度。

法三：③沿著法二中平行線的思路可聯想到利用平行線構造相似圖形，而過圓上的點同時向直徑作垂線構相似的同時還會出現我們的射影模型圖。

具體作法：過點D作DM⊥AB，過點C作CH⊥AB于點H，可發現⊿ACH∽⊿ODM，運用相似比或者借助三角函數均可求出DM的長度，此時再由CH⊥AB，“雙垂型”的模型便顯而易見了，射影定理AC2=AH·AB可輕松的求得AH的長度，這樣一來OM的長度自然迎刃而解，最后回歸法一的Rt⊿ADH中，勾股定理求得AD。

（2）從線段的角度來看：線段AD的本質即角平分線，在初中階段，涉及角平分線的知識無外乎兩點：一是角平分線性質定理的運用，二是其三線合一的知識的

運用。

法四：①由角平分線性質定理：角平分線上一點到角兩邊的距離相等，可構造出全等三角形，回歸基本模型圖1的第（6）（8）條。

具體做法：連接BC后與AD交于點Q，過點Q做QH⊥AB于點H，此時角平分線產生的全等圖形⊿ACQ≌⊿AHQ，AH=AC=6，BH=4，可設CQ=QH=a，則BQ=8-a，在Rt⊿BHQ中，可得勾股方程求得a的值，在Rt⊿ACQ中AQ的長度勾股定理也可求，再連接BD，利用同弧所對圓周角相等關系結合三角函數求得DQ。

法五：②利用等弧和等腰三角形性質構造全等三角形，再利用三線合一構造射影模型。

具體做法：連接CD，在AB上截取AM=AC，連接DM，此時的全等三角形⊿ACD和⊿AMD便構造出來，AM=AC=6，DM=CD，再連接BD，由∠CAD和∠DAB兩圓周角等對弧等，再對弦CD=BD，可知⊿MDB為等腰三角形，此時考慮三線合一的知識過點D做DH⊥AB于點H就顯得非常順暢了，MH=BH=2及AH=8也能輕松求解。同時“雙垂型”的模型又再次凸顯出來，利用射影定理AD2=AH·AB求AD便不再是難事。

法六：③在構造全等和射影定理的運用中我們又可以發現對∠ADB=90o的運用，簡而言之，AD在做角平分線的同時還出現垂直關系，我們不妨把AD看成BD的高線，那三線合一構造等腰三角形的思路便逐漸清晰起來，也就是回歸到我們基本模型圖1的第（7）（8）條。這樣一來全等圖形，射影模型就都一一呈現出來。

具體作法：在法五的基礎上延長BD、AC交于點P，此時的⊿ABP即為等腰三角形，可得AP=AB=10，CP=4，PD=DB，由法五的CD=DB，又會發現⊿CDP為等腰三角形，再過點D做DM⊥AP于點M，三線合一得CM=MP=2，結合角平分線性質定理易得DM=DH，從而找到全等三角形⊿MPD≌⊿HBD，推得BH=MP=2，AH=8，最后回歸⊿ADB中利用射影定理求AD。

法七：④用基本模型圖1的第（7）條，由A、B、C、D為圓上四點，結合AD既做角平分線又做高線的特點，會發現圓內接四邊形，這樣借助圓內接四邊形外角等于內對角的性質找相似三角形，可將求解過程大大簡化。

具體做法：延長BD、AC交于點P后，連接CD，由圓內接

四邊形性質，易證⊿PCD∽⊿PBA，得，再求出BD的長度，AD長也自然易求了。

法八：⑤用基本模型圖1的第（7）條，由直徑所對圓周角為90o，圓上兩點分別與直徑端點相連時均會構造出直角三角形，結合之前三線合一出現的等腰三角形⊿ABP來考慮。

具體做法：將法七中的連接CD換成連接BC，放在Rt⊿PCB中，AP=AB=10，AC=6，CP=4，BC=8，勾股定理可求PB的長，再由PD=DB，求得DB長，繼續放在Rt⊿ABD中，勾股定理求AD。

（3）由線段AD放在圓的本質即為弦，而AB為直徑的特點，還可考慮作弦心距利用垂徑定理只要求得AD的一半即可求解，而在角平分線的前提條件下結合弦心距產生的直角，自然也就出現三線合一的情況，從而判定出等腰三角形。

具體做法：過O做ON⊥AC于N，過O做OM⊥AD于M并延長與AC交于點Q.在Rt⊿ANO中，由垂徑定理、勾股定理可求AN、ON，由三線合一可得AQ=OA，再運用勾股定理求得OQ、AM的長，AD也就輕松得之了。

在圓中角平分線問題的基本模型圖1的指引下，整個多方法分享過程給學生帶來了一場思維盛宴，每出一種新方法學生都不由自主的歡呼雀躍、鼓掌，我能看到他們臉上流露的發自肺腑的喜悅。此題經過我們師生多維度的分析與探究，已經將初中所學幾何知識的極大部分進行了充分運用，并能遷移至各種多變題型中，用實踐來檢驗模型圖的強大之處。而對此題還沒有使用到模型圖1和模型圖2的結論，在實際解題的過程中，還和學生共同發現了其影子，原來談“圓”色變的學生現在對圓竟饒有興致了。

3? ?結語

在這個探究過程中我也切實領悟到我們的教學需要更多的研究與思考，我們的題在于精而不在多，我們的講解在于透而不在繁。在探究的過程中我們師生也在相互促進，在探究的過程中我們也發現了數學的各種趣味性、巧妙性以及延展性，不但與學生共同感受知識的博大精深，也激發我們勇于思考，彼此分享與交流的情感。這種情懷不僅受益于我，更受益于我們的學生。

【參考文獻】

[1]蓉城學堂編委會.蓉城學堂 中考總復習點擊與突破（作業手冊[M].成都：四川大學出版社，2019.