求不定積分的常用方法及應用

白燕峰

【摘 要】在高等數學中微積分是最重要的基礎課程之一，不定積分是微分的逆運算，是定積分計算的基礎，函數積分的計算和應用對學生后續課程的學習有重要的作用。在實際生活中有好多問題可用定積分來解決。如求不規則圖形的面積、變力做功、引力計算等。與微分相比積分形式更加復雜。本文就不定積分常用的方法及其在生活中的應用略談一二，以供大家共同探討。

【關鍵詞】高等數學;不定積分;函數;原函數

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0018-02

積分是數學應用在生活中的重要工具，通過積分可以初步解決生活中的問題。如可以計算不規則物體的面積與體積，計算作用在物體表面上的壓力，解決生產生活中的供求關系等。與高中所學函數相比，有了實際的應用價值。在應用中，由于較之微分，積分形式更加復雜，很多初等函數沒有初等原函數，如，等，無法轉化為我們熟悉的初等函數，求原函數更加困難，很多學生對復雜積分掌握不足。本文對求不定積分的常用方法進行系統的介紹。并且通過例題講述積分在實際生活中的

應用。

1? ?不定積分的定義

設函數定義在某區間I上，若存在可導函數，對該區間上任意一點都有=成立，則稱是在區間I上的一個原函數，稱是在區間I上的不定積分，其中C為任意常數。

2? ?換元積分法

換元積分法的中心思想是通過引入中間變量來化簡原式，將復雜的不定積分式變得簡單，得出原函數后再將中間變量用原變量帶入。

在求解過程中，換元法看似把與作為無關項對待，但這樣是成立的。在對積分中，是外部函數而是內部函數，設F是的原函數，則，所以，在方程兩端記，則：

由于已知，

所以可得兩個積分相等：

1.1? 三角函數換元

1.2? 轉化為可被三角函數換元形式

當被積函數形如時，可以將原式化簡為轉變為第一種類型。

1.3? 處理根式

當被積函數形如等形式時，一般令此根式為一未知數，即。

3? 分部積分法

這個公式用于被積函數可以看成一個乘積并且化簡后上方右面公式比左面更簡潔的情況。

關于如何選擇和的注意點：

1.在選取時，需要保證能夠求出

2.最好比更簡單

3.最好比更簡單

4? ?應用不定積分表

少數函數有初等原函數，有人已經將其列成一個積分表，熟練應用積分表，并靈活將所遇到的題目轉化成積分表中的公式，將大大簡化我們的積分難度。通過上述積分方法整理，需要熟悉掌握基本積分方法，面對具體題目時靈活運用，將復雜的題目歸于這些基本方法。

5? ?積分在生活中的應用

例4：據說古埃及大金字塔是歷時20年建成的，金字塔塔基的形狀是一個230 m×230 m的正方形，塔高125 m.若建造金字塔所用石塊的密度為3210 kg/m那么求出建成這座金字塔所作的總功，再估算建成這座金字塔需要多少工匠。

解：這座金字塔的高度為125 m，底面則為230 m× 230 m的正方形.由相似三角形的性質，我們可以求得在高度h處的正方形邊長為230（125-h） m。在高度h處薄層的體積為s2△hm3因此其質量為3210s2△h，重量為3210gs2△hN。要建成這一層，就要把這重3210gs2△hN的物體向上抬高hm，于是做功為（3210gs2△hN）（hm）=3210 gs2h△hJ，那么建成整座金字塔各層所作的總功

當每一層的厚度△h都趨于0時，我們便得到一個定積分，又因為h從0變到125，所以，

現在已經計算出了建造這座金字塔所做的總功;下面需要估計所需工匠的人數，我們假設每個工匠每天工作10小時，每年工作300天，共干20年，又假設一個普通工匠每小時可以把10塊25kg一塊的石塊抬高1m，于是他每小時可做功（250）（9.8）1=2450J，那么每一工匠在20年內所做功的總數為（10）（300）（20）（24550）=1.47×108。所以，所需工匠人數大約為（2.17×1012）/（1.47×108）≈5000人。

6? ?結語

不定積分的計算是高等數學學習的一個重點，也是解決之后二重積分三重積分的基礎，更是解決簡單實際問題的橋梁，本文只是對不定積分的積分方法進行了總結，要想熟練地掌握積分，還需要讀者進行大量的訓練，將本文的方法進行靈活地運用。

【參考文獻】

[1]D.休斯.哈雷特，A.M.克萊遜.微積分[M].北京：高等教育出版社，1997.