淺析導數在高中數學函數中的應用

王永濤

摘 要：導數內容不僅是高中數學的重點，其知識點也較為抽象。因此，教師需系統地探索導數方面的內容，結合導數的基本定義，導數與函數單調性的關系、導數與函數最大值或極值進行綜合性講述，從而提升學生對函數題型的解題效率?；谏鲜鰞热荩疚闹攸c講述了導數在高中函數中的運用方法，結合具體例題，提出對應的教學建議，以此為鑒。

關鍵詞：導數;函數;極值;單調性

引言：導數是高等函數內容中的一個基本概念，它能夠有效解決函數內容、不等式內容以及數列方面的內容。從宏觀的角度來說，導數為函數方面的內容提供了新型的解題思路，這對于提高學生的個人能力和個人素養有積極的作用。同時，教師需幫助學生構建宏觀的思路模型，讓學生全面認知導數的價值，從而更科學地將導數應用于實際操作當中。

一、基于函數的單調性的運用方法

在高中函數單調性的求解過程中，可使用圖像法、公式法、導數法進行求解。而導數法能夠高效的求解出這方面的問題。這方面題型需要注意以下幾點[1]：首先，需注明f（x）和f'（x）兩者之間的關系，即f'（x）>0時，f（x）在指定區間（a，b）單調遞增;f'（x）<0時，f（x）在指定區間（a，b）單調遞減;f'（x）=0時，f（x）在指定區間（a，b）為常數函數?；诖?，教師需結合人教版《導數在研究函數中的應用》的教學中，首先教師需講述導數的基本定義，分析導數的運算法則，幫助學生快速的掌握導數的內容。同時，教師需引出以下例題，讓學生進行系統的分析：

例1：已知函數在區間[1，2]上為增函數，求實數m的取值范圍。

解析：利用一次求導法則判斷函數圖像與條件或定義的關系，結合均值不等式定義a+b≥，從而判斷m的取值。

解析：由可得：，該函數是一個開口向上的函數。因為函數在在區間[1，2]單調遞增，所以在區間[1，2]恒成立。化簡得：，即在區間[1，2]恒成立。有均值不等式定義可得：，且當x=2式取等號，所以m≤4。

例2：已知函數（a，b∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，求實數a，b的值及函數f（x）的單調區間。

分析：該題涉及切線的定義，聯合導數的理論可簡化這方面題型的復雜程度，再利用導數與切線的關系，方可求解函數的單調區間。

解析：由已知得：f（x）的定義域為（0，+∞），所以函數的導數為。因為f（x）的圖像在點（1，f（1））的切線方程為y=x-1。所以，解之得：a=1、b=0。

所以原函數為，故。

令f’（x）=0可得x=e。

所以當x在區間（0，e）時，f'（x）>0，故f（x）在區間（0，e）內單調遞增;當x>e時，存在f'（x）<0，故f（x）在區間（e，+∞）單調遞減。綜上，函數f（x）的單調遞增區間為（0，e）;單調遞減區間為（e，+∞）。

通過上述的例題，需引導學生結合函數中的代數方法判斷導數正負值的關系，運用因式分解法則、配方法對各類函數問題進行分類討論，從而實現這方面問題的優化解決。此外，教師還應拓展初等函數中常見的例題模型，要求學生對其進行系統的記錄，以提高學生的基礎認知。

二、基于函數極（最）值的應用方法

在高階函數中的最大值、最小值或極值的求解中，使用傳統的方法（解方程組或利用二次函數的單調性）求解可能會面臨諸多的問題。因此，可將導數的內容與函數最值的求解相結合，進而提高函數的解題效率。在此過程中，需依據以下步驟進行優化：①需對指定函數進行求導。②令f'（x）=0，并求解方程的根。③結合導數的定義判斷f'（x）在方程左右兩邊的符號。④利用已知或已求解的結論，寫出函數對應的極值或最值[4]。需要注意的是，所求得到的“極值點”在原函數f（x）是無意義的（假設極值點附近兩側導數數值同號，函數無極值）。因此，需將這個點理解成方程的根。由此，教師需結合實際函數的情況進行系統的分析，例如在人教版《導數在函數中的應用》的講述中，首先教師需講述導數極值的基本含義，結合對應理論講述導數的基本含義。

三、結束語

綜上所述，將導數的理論與函數相互結合，可以優化函數取值范圍和函數最值方面的問題，從而提高學生的核心素養。同時，教師還應借助導數的實際應用方法進行綜合性的拓展，讓學生系統地了解導數的運算法則，這對于提高解題的效率有積極的意義。

參考文獻

[1]李丁，李永亮.導數在高中數學題目解答中的典型性應用分析[J].數學學習與研究：教研版，2018（4）：124-124.

[2]高慧明.高考數學“函數與導數”備考指導[J].高校招生：高考指南，2018.