圓錐曲線中的垂直問題

摘 要：圓錐曲線的綜合問題以圓錐曲線知識為載體，綜合函數、三角、數列、向量、不等式等知識，綜合性強。要求考生具備較強的運算能力、分析問題和解決問題的能力。也是提高學生數學核心素養的良好載體。

關鍵詞：圓錐曲線;垂直;最值

在高中數學教學過程中，我們時常會看到這樣一個現象：相同的老師，相同的課堂，經過一段時間的學習會在測試成績上出現不小的差距。有些同學上課記得勤、課后練得勤，但成績與一些“聰明”的同學比總是稍遜一籌，而他們總結出的原因多半是“同學比較聰明”。事實上原因是多方面的，其中較為突出的是學生學習的主動性。哪些被動的吸取、模仿、記憶和反復練習的同學總是學的比較累，進步比較慢。

構建主義理論認為學生的學習不是被動接受，而是主動建構，因此，在教學過程中鼓勵學生發現問題，自主探究，養成勤于思考的好習慣。英國近代著名的教育家主張“正確的思考，比多知道一些更有價值。”如何在教學過程中促進學生思考，進而養成思考的好習慣呢？下面我們以圓錐曲線的綜合題解題教學為例進行探究。

教材中“圓錐曲線”一章的內容在高中數學中的地位異常重要，圓錐曲線的綜合問題是各地高考、模擬考的一大熱點，也是中學數學教學的一大難點。成為難點原因有三：其一、思維量大，解題過程中蘊含的數學思想豐富;其二、計算量大，大到懷疑自己的解錯了;其三、綜合性高，圓錐曲線常與向量、三角、函數、不等式的內容相結合。也正是這些特點使得解析幾何成為提高學生數學核心素養的良好載體。

一、課堂實錄（片段）

例1，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2.過F1的直線交橢圓于B，D兩點，過F2的直線交橢圓于A，C兩點，且AC⊥BD，垂足為P.

（Ⅰ）設P點的坐標為（x0，y0），證明：

（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值.

師：第1小問證明的不等式轉化為幾何結論是什么？

生1：點P不滿足橢圓方程，所以點P不在橢圓上。

生2;點P在橢圓內

師;怎么證明？

生3：P在弦BD上，所以P在橢圓內。

生4：不對，垂足P不一定在線段BD內。

師：條件AC⊥BD怎么用？

生5：由AC⊥BD知點P在以線段F1F2為直徑的圓上，故，

所以，.

師：很好，垂直轉化思路1——圓。

師：第2小問求面積怎么表示？

生1：把四邊形拆成兩個三角形，求面積之和=

師：，怎么求？

生2：用弦長公式，設BD的方程為，代入橢圓方程，并化簡.

設，，則，

同理，設AC方程為，得。

師：兩個變量求最值怎么辦？

生3：化成單變量，因為AC⊥BD，所以km=-1，即

.四邊形ABCD的面積

當k2=1時，上式取等號.

師：很好，垂直轉化思路2---斜率之積為-1。

師：對上述同學解題過程有沒有疑議？

生4，當AC或BD斜率不存在沒考慮，此時四邊形ABCD的面積S=4.四邊形ABCD的面積的最小值為.

二、課后反思

（1）設問有層次;

問題貫穿課堂始終，因此選取合適的例題，設置恰當的問題至關重要。使不同層次的學生思維不同，經驗不同，理解力不同，為使不同層次的學生都積極思考，設置的問題得有層次。學生在思考問題時可以從不同方向、不同角度、不同途徑入手，達成不同思路取長補短。

問題設置遵循由淺入深，循序漸進的原則，它可以使學生在問題解答過程中不斷獲得成功，樹立自信心，進而培養敢于思考，勇于解決困難的良好品質

（2）教師點撥有梯度;

對一般的學生來說，數學知識和數學經驗比較缺乏，面對具有一定難度的問題往往一籌莫展，需要教師適時的點撥。根據學生解題過程中遇到的不同障礙，給出相應的知識點提示，切不可一點不通全盤托出，也不能高估學生的能力讓學生自行討論解決。對不同的點，不同的同學給予不同的提示，使他們在解題上更近一步。

結語：亞里士多德有句名言：“思維是從疑問和驚奇開始的。常有疑點，常有問題，才能常有思考，常有創新。”數學解題教學要從學生解題障礙出發，引導學生不斷分析問題，從而解決問題。培養學生善于思考的好習慣，提升學生分析問題、解決問題的能力，鍛煉學生的數學數學思維。這些遠比僅僅獲得知識更為終身受益。

作者簡介：金素英（1979-），女，漢族，籍貫浙江義烏，本科，中學一級教師，研究方向：數學教學