向量在立體幾何解題中的妙用

謝紫霞

摘 要：向量是數學中一個非常重要的量，向量在不同的數學問題中有著不同的用法和作用，在解決幾何問題中展示出了特殊的妙用。向量在幾何中的應用由點線面，再到立體幾何，其中有著多種存在的意義，了解向量在立體幾何中的用法及意義有助于將較為復雜的幾何問題轉化為簡單的問題，對于解決復雜的立體幾何有著重要的存在意義。本文就來探討向量在立體幾何中的妙用。

關鍵詞：向量;立體幾何;解題;妙用

引言：立體幾何是由點、線、面構成的幾何形體，我們生活中隨處可見各種各樣的立體幾何。立體幾何同樣是數學學科中的重要知識，巧妙的解決立體幾何問題是靈活應用數學知識的表現。通過立體幾何的構成，我們認識到立體幾何中存在著較多的向量。不管它是圓柱、棱柱，還是圓錐、棱錐，我們都可以通過尋找立體幾何中存在的向量關系，找到計算和證明立體幾何的方式。并且，通過尋找有效的向量關系，還能夠簡化問題的思路，將復雜的問題簡單化，從而巧妙靈活的解決數學問題。

一、立體幾何中常見的向量類型

（一）直線的方向向量

與經過已知點直線平行的直線的非零向量就叫做直線的方向向量，表示為=。

（二）平面的法向量

在同一空間，如果直線l垂直于平面a，直線l的方向向量為，向量交租平面a的法向量，表示為·=0[1]。

二、利用向量解決立體幾何問題的優點

（一）解題思路清晰化

立體幾何的難點在于沒有具體的數據，因此最簡單的方法就是將立體幾何代數化。立體幾何代數化使點、線、面之間的關系清晰化，解題思路自然也就清晰化了。而向量關系就是解決立體幾何非代數化的關鍵，因此，向量也是使立體幾何解題思路清晰化的關鍵。

（二）簡化運算過程

立體幾何中的很多關系往往需要較長的推理才能得出，借助向量法解決一些需要推理的立體幾何問題，可以直接通過向量為立體幾何建立關系，使得立體幾何的解題思路直觀明了，簡化了推理點、線、面關系的過程。因此，巧用向量解決立體和問題可以簡化運算過程。

（三）復雜問題簡單化

不少立體幾何問題的證明看似復雜，實則存在著很多直線、平面以及角度之間的關系，此時借助輔助線可以為尋找立體幾何直線、平面以及角度之間的關系搭建橋梁，通過向量來順利的找到其中的關系，從而確立解題思路。簡而言之，向量的引入可以使較為抽象的立體幾何空間關系有了明確的坐標、代數關系等，同時使立體幾何的空間關系具體化，使簡單的問題復雜化。

三、立體幾何中常見向量妙用

向量在立體幾何中的妙用主要是借助平行關系、垂直關系、夾角問題以及距離問題體現，還經常會借助輔助線、坐標系、假設代數關系等完成，巧妙之處在與為看似復雜的幾何空間創建解決實際幾何問題需要的關系，并通過各種相關關系之間的聯系來相互轉化和推理。以下是常見的向量在幾何問題中的妙用。

（一）平行關系

如下圖1正方體所示，長房體的棱長為1，M和N分別為A1B1和BB1的中點，求直線AM和CN所成角的余弦值。解題思路如下：

先使兩條異面直線的平行線相交，確定目標三角形，然后用余弦定理來計算三角形的夾角，從而求出異面直線所成的角的角度。在利用平行關系解此題是需要分別作出B1E、NF、FC3條輔助線，以直觀的觀察該正方體中的平行關系。

（二）垂直關系

如下圖2正方體所示，E點和F點分別是BB1和CD的中點。求證D1F⊥平面ADE。由于在該正方體問題中沒有明確的代數關系，因此首先應該假設一個明確的代數關系，然后應用向量正交基底解決該問題[2]。解題思路如下：

設正方體棱長為1，以，，為單位正交基底，并以建立D為頂點建立坐標系

（1，0，0），=（1，1，），=（0，，-1）

所以·=0，·=0

所以，⊥

又因為DA與DE相交形成D點

所以⊥平面ADF

結語：綜上所述，立體幾何問題都可以通過尋找平行關系、垂直關系、夾角問題、距離問題等向量關系來實現。向量在立體幾何中的應用可以使立體幾何相對簡單化，同時找到解決問題的對應關系，是巧妙解決立體幾何的有效途徑。因此建議教師在教授立體幾何時重點引導學生探索向量關系，主動思考向量與立體幾何之間的關系，這有助于學生加深對于立體幾何的理解問題。

參考文獻

[1]王博文.向量在立體幾何解題中的妙用[J].中學課程資源，2012（09）：55-57.

[2]劉福亮.向量法在立體幾何解題中的妙用[J].數學學習與研究，2015（13）：83.