“直觀想象”在解析幾何中的幾點體現

焦梓榮

【摘要】“直觀想象”是數學核心素養之一，它的培養主要體現在幾何教學中。解析幾何作為高中數學的重要內容，是體現數形結合思想方法的經典內容，是學生“直觀想象”培養的重要內容，在教學中要注意四個方面的表現。

【關鍵詞】直觀想象；解析幾何；數形結合

直觀想象是數學核心素養之一，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題，建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，現階段高中教材里與之相關的主要內容是立體幾何與解析幾何。

解析幾何是高中數學中用代數的方法解決幾何問題的經典內容，是數形結合的數學思想方法體現的重要內容，它包括：畫圖，對圖形的觀察，利用圖形特征表述問題，利用圖形特征理解問題，利用圖形特征探究問題，建立直觀的數學模型解決問題等；借助圓錐曲線圖像掌握它們的基本性質，及其各個基本量、公式的幾何意義；培養畫圖、用圖思考和探尋簡化運算的好習慣，是培養學生“直觀想象”的核心內容之一。

以下就四個方面來談談“直觀想象”在解析幾何中的體現：

一、利用圖形特征表述問題

圓錐曲線的定義是對其圖形特征的核心表述，常用于解決與長度有關的求值和最值問題。

已知F1，F2是橢圓的左、右焦點，直線l過點F2與橢圓交于A、B兩點，則△ABF1的周長為（ ）

A.10 B.12

C.16 D.3

解：由題意可得a=4，

由橢圓的定義可得：，

∴由圖可知△ABF1的周長為：.故選：C.

點評：此題的關鍵是利用橢圓的定義，圖像的特征可以表述為，是個數形結合的典型題目。

二、利用圖形特征理解問題

圓錐曲線的圖像是其性質的集中表現，利用好圖形特征來理解相關最值問題，往往比較容易找到取得最值得臨界點，從而快速的解決問題。

已知橢圓C：的右焦點為F，點P（1，3），若點Q是橢圓C上的動點，則周長的最大值為（ ）

A. B.17

C.30 D.

解：如圖，設橢圓C的左焦點為F'，

則的周長

由三角形的三邊關系可得

當在PF'的延長線與橢圓C的交點時取等號

∴，故選D.

點評：本題主要利用橢圓的定義求解最值問題，涉及到了“化曲為直”的數學思想，需要用三角形的三邊關系找到取得最值的臨界點，從而解決問題。

三、利用圖形特征探究問題

靈活地利用圖形的特征探究相關數學問題，運用數學結合的方法，得到相關數學結論，可以簡化計算，起到事半功倍的效果。

已知，。動圓 M與外切，與內切，求動圓M的圓心E軌跡方程.

解：由題意得：

兩式相加得：

∴圓心E是以C1，C2為焦點的橢圓

∴可得a=3，c=1∴b2=8

∴動圓 M的圓心E軌跡方程為.

點評：本題考查定義法求軌跡方程的方法，利用圓與圓外切和內切的幾何性質，得到橢圓的定義，從而求出圓心E軌跡方程。

四、構建直觀的數學模型解決問題

在實際的數學情境中，構建相關的直觀模型，更加容易發現形與形、形與數之間的關系，從而發現圖形的運動規律。

已知長方體ABCD-A1B1C1D1，AD=AB，E為CC1中點，P在對角面BB1D1D所在平面內運動，若EP與AC成30°角，則點P軌跡為 （ ）

A.圓 B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

解：如圖，取AA1中點F連接EF，記 EF∩面BB1D1D=0，連接PO，易得PO⊥EF， ∠OEP=30°

∴在Rt△POE中可得

∴點 的軌跡是以O為圓心，半徑為的圓

故選A

點評：本題考查了空間幾何體的軌跡問題，解題的思路是把空間幾何問題轉化為平面中的幾何問題，從圖中求出點 的數量關系，利用圓的定義得到的軌跡是圓，考察了化歸和數形結合的數學思想。

“數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確定依賴于推理。” 在“直觀想象”的培養中，要善于利用圖形的幾何特征，利用“形”與“形”“數”與“形”的相互關系，發現圖形的關鍵特征，利用這些關鍵特征處理好相關問題，讓學生在學習中積累自己的“直觀想象”經驗，“悟”出門道。

參考文獻：

[1]]史寧中. 數學的抽象[J].東北師大學報（哲學社會科學版），2008（5）.

[2]方厚良.學函數，用圖象[J].中小學數學（高中），2016（4）.

[3]陳敏，吳寶瑩.學核心素養的培養——從教學過程的維度[J].教育研究與評論，2015（04）.

[4]王尚志.如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J].中國教師，2016（6）.