基于邊界條件和突變條件確定內力方程的一種方法

張宏學 姚衛粉

摘要：材料力學是理工科的專業基礎課，能直接應用于工程實際，而桿件內力圖是材料力學的核心內容，尤其是彎矩圖，如何讓學生快速、準確地繪制桿件內力圖尤為重要.本文以彎扭拉組合變形桿件為研究對象，基于空間任意力系的平衡方程和微元法思想，建立了各種基本變形桿件的分布載荷和內力之間的關系，并給出了基本變形桿件的邊界條件和突變條件.提出了確定內力方程的一種新方法，結合算例給出了詳細的過程.與傳統方法相比，該方法的優點是不需要預先求解桿件的約束反力.課堂教學效果表明，學生更偏向于利用該方法確定內力方程和做內力圖，準確率高.

關鍵詞：內力方程;內力圖;邊界條件;匹配條件

中圖分類號：O302? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）07-0023-04

桿件內力圖能夠清晰地反映桿件內力隨橫截面位置變化的關系，同時也能確定桿件最大內力的數值及其所在截面的位置，即確定桿件危險截面的位置，為桿件強度計算提供依據.梁的彎曲是材料力學課程的核心內容，也是應力應變狀態、組合變形、能量法、超靜定結構等內容的基礎，而梁的剪力圖和彎矩圖是梁的彎曲的核心內容[1].由此可見，桿件內力圖在《材料力學》課程中具有舉足輕重的地位，讓學生熟練掌握桿件內力圖的繪制并應用到工程實際至關重要.

繪制內力圖，是公認的“材料力學的看家本領”，也是考核材料力學教學質量的一個重要方面[2].目前，《材料力學》[3-4]課程中桿件內力圖常用的繪制方法有兩種：一種是根據內力方程繪制內力圖;另一種是簡易法作圖，即根據載荷集度和內力之間的微分關系以及積分關系繪制內力圖.根據內力方程繪制內力圖學生易于掌握，但列內力方程的過程較為復雜，容易出錯;而簡易法作圖方法簡單，但部分學生很難掌握.從歷年教學和考試情況來看，學生在做桿件的內力圖時，尤其是剪力圖和彎矩圖，更喜歡列剪力方程和彎矩方程作剪力圖和彎矩圖.無論采用哪一種方法繪制桿件的內力圖，首先需要列平衡方程求解桿件的約束反力.

本文以彎扭拉組合變形桿件為研究對象，基于空間任意力系的平衡方程和微元法思想，建立拉壓桿上的分布載荷和軸力間的關系、圓軸上的分布載荷和扭矩間的關系、梁上的分布載荷和內力間的關系.然后，提出了確定內力方程的新方法.最后，結合拉壓桿、圓軸、梁的算例詳細介紹了確定內力方程（不求解約束反力）的詳細過程.

1 載荷集度和內力間的關系

如圖1所示桿件，在外載荷作用下產生彎扭拉的組合變形.以桿件軸線為x軸，y軸向上為正.分布載荷的集度a（x）、m（x）、q（x）是x的連續函數，且規定a（x）向左為正、分布力偶的集度m（x）的矢量方向向左為正，q（x）向上為正.在距原點為x處，從桿件中取出長為dx的微段，如圖2所示.由于桿件產生彎扭拉的組合變形，因此桿件左邊截面上有軸力FN（x）、扭矩T（x）、剪力FS（x）和彎矩M（x）;由于分布載荷的影響，微段右邊截面的軸力、扭矩、剪力和彎矩相對于左邊截面的這些內力有相應的增量，因此右邊截面的軸力、扭矩、剪力和彎矩分別記為FN（x）+dFN（x）、T（x）+dT（x）、FS（x）+dFS（x）和M（x）+dM（x）.微段兩邊截面上的內力均取正值，且所取微段內無集中力和集中力偶的作用.

對微段列平衡方程，∑Fx=0、∑Mx=0、∑Fy=0和∑Mz=0，得：

dFN（x）/dx=a（x）?  （1）

dT（x）/dx=m（x）? ?（2）

dFS（x）/dx=q（x）? （3）

dM（x）/dx=FS（x）? （4）

式（1）-（4）分別表示軸力和載荷集度間的微分關系、扭矩和載荷集度間的微分關系、剪力和載荷集度間的微分關系以及彎矩和剪力間的微分關系.《材料力學》教材已經推導了載荷集度、剪力和彎矩間的微分關系，即式（3）和式（4）.《材料力學》教材針對式（3）和式（4）已得到一些推論，在此不再敘述.下面分析式（1）和式（2）.

在桿件的某一段內，當a（x）=0時，由dFN（x）/dx=a（x）=0可得，桿件此段內的軸力FN（x）=常數，軸力圖是平行于x軸的直線;在桿件的某一段內，當a（x）=常數時，由式（1）可知該段桿件的軸力是關于x的一次函數，軸力圖是一條斜直線.

在桿件的某一段內，當m（x）=0時，由式（2）可知，桿件此段內的扭矩T（x）=常數，扭矩圖是平行于x軸的直線;在桿件的某一段內，當m（x）=常數時，由式（2）可知該段桿件的扭矩是關于x的一次函數，扭矩圖是一條斜直線.

如果已知桿件在x處的內力，那么就能確定式（5）-式（8）中的積分常數，從而確定了桿件的內力方程，相應的內力圖也就容易繪制了.本文根據桿件的邊界條件和突變條件確定積分常數，確定積分常數的相關方程稱為邊界條件.表1列出了梁在不同約束處剪力和彎矩的情況.

拉壓桿軸力圖和圓軸扭矩圖的繪制較簡單，此處不再詳述.下面將詳細敘述利用該方法繪制剪力圖和彎矩圖的方法.與教材上常用的兩種繪制剪力圖和彎矩圖的方法相比，通過該方法繪制剪力圖和彎矩圖，不需要求解梁的約束反力.如果梁在某些約束處的約束力已知，那么也可通過這些約束力確定積分常數.

式（5）-（8）中的積分常數僅通過邊界條件不能完全確定，還需要聯合突變條件：如果在梁的某一截面處有集中力的作用，那么剪力圖在此截面有突變;若在梁的某一截面處作用著集中力偶，那么彎矩圖在此截面有突變.表2、表3和表4分別列出了桿、圓軸和梁的突變條件.

上述3個算例表明，利用該方法繪制桿件內力圖的優點有：（1）不需要預先求解桿件的約束反力;（2）易于學生理解和掌握;（3）結合各種基本變形桿件的突變條件可以檢查內力圖的正確性.

3 結論

本文以產生彎扭拉組合變形的桿件為例，建立了彎扭拉組合變形桿件的內力與分布載荷之間的關系.并提出了確定桿件內力方程的一種新方法，結合算例給出了詳細的過程，得到如下結論：

（1）根據內力與載荷集度之間的微分關系，分析了各種基本變形桿件在無分布載荷作用和均布載荷作用下內力圖的形狀.

（2）利用本文提出的方法確定桿件內力方程以及繪制內力圖的優點主要有：不需要求解桿件的約束反力;學生容易理解和掌握;利用邊界條件和突變條件能檢查內力圖的正確性.

（3）課堂教學效果表明，學生更偏向于利用該方法確定內力方程并繪制內力圖，且準確率高.

參考文獻：

〔1〕徐志軍，原方.工程實例在建筑力學課程教學中的應用[J].力學與實踐，2018，40（6）：700-703.

〔2〕范欽珊，尹雅俊，唐靜靜，等.改革教學，創新教學——“材料力學”課堂教學改革實踐與體會[J].力學與實踐，2018，40（5）：543-549.

〔3〕劉鴻文.材料力學（Ⅰ）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔4〕孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學（Ⅰ）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

〔5〕嚴圣平，巫靜波，陳啟東，等.工程力學[M].北京：高等教育出版社，2013.