關于一道數學考研試題的解法與思考

劉國祥 劉眾

摘要：本文針對2019年全國碩士研究生入學考試高等數學（一）18題和解法，對教學及考研輔導、復習等問題，進行了多方位的思考.

關鍵詞：遞推數列;單調性;定積分;分部積分法

中圖分類號：O174? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）07-0016-04

2019年全國碩士研究生入學考試高等數學（一）第18題是：

針對這道題目的解法和分析，對教學及考研輔導、復習等問題，進行了思考，并探討在教學中如何培養思維定式與創新意識.

1 題目分析

看到一個題，首先看已知什么，要求什么，或者要證明什么.這個題的題設非常清晰，是以定積分形式給出的無窮數列的通項.問題有兩問第一問是證明數列的一個遞推關系，第二問是求數列通項的商的極限.問題非常清晰簡練，看不清楚題目，看不懂題目是絕對不會的.

高等數學考試或者研究生入學考試與中學數學或者說高考數學題目有一個明顯的區別，高考中，如果一個題目有兩問或者多問，其中第一問基本是送分的.只是為了后續問題做個準備，甚至是后續問題的提示.考研中，如果一個題目有兩問或者多問，其中第一問基本是最難的.如果第一問解決，后續問題基本就迎刃而解，基本是送分的了.

嚴格說來，沒有難題與簡單題之說，只是針對具體的問，根據自己的學習情況，熟練程度，就有了難易之分.那什么樣的題對你是難題呢，基本上有兩種，一種是看不懂題目，具體的又有這么幾種情況，其一是新定義一個或者幾個概念、規定符號，從來沒有見過，不知其意，一般是新穎創新型的題目.其二是問題中有的概念忘了或者記憶模糊，雖然見過，但不知其意.一時想不起來，還不如第一種情況.嚴格來說，這都屬于基本功不扎實，復習準備不到位，知識脈絡有漏洞.第二種難題是雖然題目看懂了，但是無從下手，沒有突破口.整數論課程這樣問題很多，例如哥德巴赫猜想、費爾馬大定理，誰都懂，但是證明卻無從下手.高等數學考試中利用中值定理證明存在性問題，想不到構造輔助函數，或者想到構造輔助函數但是選取不到合適的.這樣都使得解答無從進行.

這個題對于多數人來說，都應該不是難題，都能夠入手.至于是否能夠完滿順利解答，還有看你的計算能力和推演能力.

從這里可以更明顯地體會到，記住方法或許比記住結果更重要.

分類討論和轉化是數學解題的兩個重要思想，中學數學教學和高考中體現更明顯.這道考題解法，選擇適當，可以避免分類討論奇偶性.分奇偶性討論，結論更直觀，直接用.對于分類討論，我們的觀點是，不必過于追求，也不過于回避.平時練習時候，多思考，不用分類討論解不出來或者過于復雜的題目，試試分類討論.當然分類討論接觸的題目，想一想不用分類討論能不能解出來，是否更精煉.

至于轉化，可以說是貫穿于整個數學界.嚴格說不能簡單說成是方法或者思想.狹義地說，這里用到an，an-1，an-2的轉化，In，In-1，In-2的轉化，an，In之間的轉化等.我們的觀點同對待分類討論一樣，不過于追求，不過于回避.

4 試題溯源

分析歷年來考試試題，無非以下幾種情況：第一種是所謂的成題（或舊題），就是以前考過或者常見文獻上可查到.舊題稍微變化或者換換數字，也算作這種情況.主要考查學生掌握基本知識和基本方法.這種題目占很大比例也并不一定簡單，例如2019年全國碩士研究生入學考試高等數學（一）第15題，第一問求解一元線性微分方程，第二問求函數的凹凸區間與拐點，就是成題.第二類是完全新穎的題目，或者創新的題目，從未見過或者類型都沒有見過.這主要看你能否準確理解題目，或者適當轉化、類比于成題.并不一定是難題，可能只是一個華麗（唬人）的外表.第三類，也是最常見的一類是某些成題或者結論的變形或者轉化、引申，或者參考某個方法.總之它們都有明顯或者不明顯的出處.

在課堂教學、課外輔導或者考研輔導時，這么多方法，那種是最好的.我們的觀點是：容易想到的，你會使用的，你熟練的，對你來說，就是最好的.對于“定式”的、經典的題型，至少要熟練一種.至于到底是哪種呢？你喜歡的，常規的.不要過分追求新奇的‘巧妙的’解法，熟生巧，不熟，“巧”也記不住，掌握不了.

還是回到老話，平時多看、多讀、多練、多思、多試，夯實基礎，學會變通，才會有提高與創新.

參考文獻：

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