利用特征函數求解連續型隨機變量函數的密度函數

文小波 趙雪嬌

摘要：求解連續型隨機變量函數的分布是概率論與數理統計中較為重要的一個問題，傳統的方法往往需要較大的計算量，運用時有一定的局限性.本文以特征函數為載體，給出了求解連續型隨機變量函數的密度函數的計算方法.相對于傳統的方法，此方法簡化了計算.在文中，理論論證之后，分三個層面以某一函數為例，加以論證，得出了一些結論.

關鍵詞：連續型隨機變量;特征函數;密度函數;函數變換

中圖分類號：O211.1? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）07-0001-04

0 引言

連續型隨機變量的函數的分布是概率論與數理統計研究理論中的一個重要組成部分，而對于連續型隨機變量而言，其密度函數具有良好的分析性質.本文中為論述方便，假設連續型隨機變量X的密度函數為px（x），Y是一個新的隨機變量，其中Y= g（X）為X的一個函數變換，如何求出Y的分布（密度函數）.以往針對連續型隨機變量函數的分布的求解有三種常用的方法：一種是使用分布函數法[1]求解，即先求解隨機變量Y的分布函數FY（y），再對FY（y）關于y求導函數，最終可得出Y的密度函數pY（y）;另一種常用的方法是求解具有單調性的特殊函數類的公式法[1]，但是此方法只能用于求解具有單調性的連續型隨機變量函數類，所以這種方法的應用有很大的局限性：還有一種方法是積分變限法，即利用密度函數的正則性，亦可求解隨機變量函數的密度函數[2].

對于分布而言，利用較多的是分布函數、分布列和概率密度函數，上文涉及的三種常用的方法都是直接利用隨機變量X的密度函數來直接求解隨機變量Y的密度函數，都需要求導函數和對函數進行積分，計算量一般比較大.函數？漬（t）=E（eitX），-∞<t<+∞稱為隨機變量X的特征函數，且任意一個隨機變量的特征函數總是存在的.特征函數在概率論與數理統計中有很多的應用，是處理概率論與數理統計相關問題的一個重要的有力工具，本文給出了利用特征函數求解連續型隨機變量函數密度函數的方法，無需大的計算量，只需要利用特征函數的一些變換即可求出連續型隨機變量函數的密度函數，此方法簡化了計算，有利于特征函數理論的進一步推廣和使用，也為連續型隨機變量函數的分布的求解提供了新的方法.

1 利用特征函數求解Y=g（X）的密度函數pY（y） ? 對于連續型隨機變量X，其定義域一般連續充滿某個區間或者一些區間的并，做某一函數變換Y=g（X）以后，隨機變量Y一般依然為連續型的隨機變量.故函數變換Y=g（X）可以拆分為一個或者多個單調區間.借助于特征函數的理論，由此，本文給出以下定理1.

定理1 設X為連續型隨機變量，其密度函數為pX（x），Y=g（X）是另一隨機變量，X僅在（？滋，v）上有非負值，其中？滋可取-∞，v可取+∞.可將（？滋，v）分為兩兩互不相容的子區間Ikj，（k=1，2，…，n;j=1，2，…），對于連續型隨機變量而言區間端點的取舍對概率的求解并無影響，故Ikj可以是開區間，也可以是閉區間，也可以是半開半閉區間，使得Y=g（X）在分割后的每個Ikj區間上恒有g′（x）>0或者g′（x）<0，即在每個Ikj區間上具有單調性，則Y=g（X）的反函數一定存在，設其為hnj（y），且在此區間上具有相同的單調性.Y=g（X）在Ikj，（j=1，2，…）上有值域（？琢k，？茁k），k=1，2，…，n，其中？茁k-1≤？琢k，k=2，…，n，則有

針對類似的具有多個單調區間的隨機變量函數變換，可以參照上述論證過程得以論證，在運用中，也可以直接使用定理1結論的變換方法得出相應的分布.

3 結束語

本文利用特征函數來求解連續型隨機變量的函數的分布，不是以特征函數求得新隨機變量的特征函數，再以唯一性定理與逆轉公式反解密度函數，也不是對特征函數性質中線性變換求解新變量特征函數的運用，而是以特征函數為手段，利用變換技巧直接求解新的隨機變量函數的密度函數.所需的計算量較小.在文中所舉例的函數中得到了良好的論證，把此方法推廣到其他函數之下，同樣具有良好的結論.

參考文獻：

〔1〕茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2011.104-288.

〔2〕夏天，王學仁.用積分變換法求解連續型隨機變量函數的密度函數[J].數學的實踐與認識，2013（16）：262-270.

〔3〕黃基延，趙麗免.特征函數的性質及其應用[J].高等數學研究，2014（4）：50-52.

〔4〕茆詩松，程依明，濮曉龍.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社，2017.36-50.

〔5〕黃基延，趙麗免.特征函數的性質及其應用[J].高等數學研究，2014（4）：50-52.

〔6〕王艷芳.隨機變量的特征函數在恒等式證明中的探討[J].大連大學學報，2002（6）：80-83.