向量在高中數學解題中的應用探究

周運龍

摘 要：向量是聯系代數、幾何等多方面數學知識的重要工具，也是高中數學重要的解題方法，研究向量在高中數學中的解題運用，對提升學生解題能力和發展學生數學核心素養具有重要價值。要運用向量解題，需要熟練掌握向量解題的方法，重視利用向量解題培養學生數學素養，才能發揮向量的教學價值。

關鍵詞：向量;數學解題;應用方法

向量是具有“數”與“形”雙重特點的重要解題工具，在高中數學教學中，加強對向量知識在解題中的運用教學，對提高學生解題能力和解題效率具有重要意義，同時向量解題方法的運用對發展學生數學核心素養有著重要作用，因此應加強向量在數學解題中的運用研究。

一、向量在高中數學解題中的應用價值

向量知識在高中數學解題中的應用有如下價值：一是能讓學生理解數學與生活、數學與其它學科的聯系。向量在現實生活中有著廣泛的應用，在衛星定位、機器人設計與控制中有著重要運用，它是描述與研究物理學科中的力、位移、加速度等重要工具，對向量的運用能讓學生體會到數學的價值;二是能更好地理解數形結合思想方法。

二、向量在高中數學解題中的應用策略

（一）掌握向量法解題的方法

要運用向量法解題，必須熟悉向量解題的基本方法，掌握了方法才能靈活運用向量進行解題。筆者在教學中，總結了向量法解題的兩種基本方法：一是運用向量坐標法解題。運用該方法解題時，要注重依據圖形特點來建立恰當的坐標系，然后依據建立的坐標進行數量問題的計算，就能使問題容易解決;二是運用向量幾何法解題。

例1：在圖1中，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=4，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求：對角線AC1的長度是多少？

分析：通過對本題的分析可知，該題目既可用坐標法解題，也可用幾何法解題。

（1）向量坐標法解題

可以選擇底面AC和BD的交點為原點O，以OA為x軸、OB為y軸，以垂直于底面向上的直線為z軸建立空間坐標系，從已知條件知底面ABCD是菱形，容易求出坐標A（，0，0），由余弦定量可求出，可得出C1 點坐標是，因此容易計算出

（2）向量幾何法解題

根據向量加法運算可得出，， ∴對角線AC1的長就是向量的模，∴，代入數值可得出，∴對角線AC1的長是9。

（二）利用向量知識培養數學核心素養

運用向量解決高中數學問題，使復雜的代數問題可用直觀的幾何方法解決，同時也使抽象的幾何問題通過代數運算輕松解決，增強了解題的方法的多樣性與創新性，有效地實現了數學學習模式從“知識理解”向“知識遷移”的過渡，進而能夠提升學生的“應用創新”能力，而且在向量解題中能培養學生的抽象思維、邏輯推理、形象思維、數學運算等多方面的能力，能較好地實現了發展學生數學核心素養的目的。因此在向量知識教學中應注重把向量解題與核心素養培養結合起來。

向量在高中數學教材中分為平面向量和空間向量，向量解題的應用范圍涵蓋了代數問題（包括不等式、函數、復數、三角函數、數列）、平面幾何、立體幾何、解析幾何等多個方面。而且運用向量解題非常簡潔、方便、高效，具有清晰的解題思路和獨特的解題優勢，有效降低了數學解題的難度，提升了數學解題效率。

例2：已知橢圓的左右兩個頂點分別是A、B，且長半軸的長與焦距相同，為橢圓的右準線。

求：（1）橢圓方程;（2）假設M點是右準線上的任意一點（不含（4，0）點），如果AM、BM兩條直線和橢圓相交在P、Q兩點（不含A、B兩點），證明B點在以PQ為直徑的圓內。

分析：（1）橢圓方程用代數知識容易求出為;

（2）在本小題中如果運用代數的方法進行證明，比較繁瑣，而如果運用向量的方法就容易解決?？杉僭O， ∵P 在橢圓上，∴， ∵P點不包含在A、B兩點，∴，∵A、P、M三點共線，∴，∴，，∴，∵，∴，由此得出∠PBM是銳角，∴∠PBQ是鈍角，∴B點在以PQ為直徑的圓內。

在本題中要證明點B在以PQ為直徑的圓內，也就是證明點B與圓的關系，關鍵是要把問題轉化成證明∠PBQ是鈍角（或∠PBM是銳角）的問題，進而轉化成向量的數量積運算問題，然后根據不共線的三點A、B、C的向量數量積與角度之間的關系來判斷角度大小。即根據 ←→ ∠ACB是直角， ←→ ∠ACB是銳角， ←→ ∠ACB是鈍角。本題的求解還較好地體現了轉化的數學思想方法，通過上述向量解題方法的運用，對發展學生數學核心素養有重要作用。

三、結束語

總之，向量作為高中數學解題的重要工具，對提升學生數學解題能力和發展學生數學核心素養具有重要價值，因此教師要加強對向量解題方法的教學，注重利用向量解題來培養學生的多種能力，才能更好地發揮向量知識的教學價值。

參考文獻：

[1]康顯平.向量在高中數學解題中的應用研究[J].好家長，2017（3）：19-19.

[2]楊亮.高中數學解題中向量方法的應用研究[J].高中數理化，2015（18）：10-10.