由一道中考試題引發(fā)的思考

劉剛

摘 要：初中幾何教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題中提供的具有特征性的條件建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要培養(yǎng)學(xué)生的六大核心素養(yǎng)，其中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是一項(xiàng)重要的內(nèi)容。圍繞“K”字型這一常見的數(shù)學(xué)模型筆者談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的一點(diǎn)想法。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)建模;“K”字型;全等;相似

2018年揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)試卷中有這樣一道試題（如圖1），四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），把矩形OABC沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為? ? ? ? ?.

本題是一道有關(guān)折疊的問(wèn)題，由折疊的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，再由矩形對(duì)邊平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換及等角對(duì)等邊得到BE=OE（如圖2），利用AAS得到三角形OED與三角形BEA全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DE=AE，過(guò)D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面積法求出DF與OF的長(zhǎng)，即可確定出D坐標(biāo).

解法一：由折疊得∠CBO=∠DBO

∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE

在△ODE和△BAE中

∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE

設(shè)DE=AE=x，則有OE=BE=8-x

在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得：42+（8-x）2=x2

解得x=5，即OE=5，DE=3，過(guò)D作DF⊥OA.

∵S△OED=OD·DE=OE·DF

∴DF=，OF=

則D（，-）.故答案為（，-）

本題在學(xué)習(xí)“三角形全等”和“勾股定理”等知識(shí)時(shí)都曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)，對(duì)于本題大部分學(xué)生并不陌生。與以往的呈現(xiàn)形式不同的地方在于此題把一個(gè)矩形放在了平面直角坐標(biāo)系的背景之下，把原來(lái)求線段長(zhǎng)的問(wèn)題變化成了求點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題。細(xì)細(xì)品味此題，也可以從其他角度探尋解題的辦法。

解法二：過(guò)D點(diǎn)作DF垂直于y軸交BA的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)（如圖3）

∵∠CDB=∠OCB=90°

∴∠ODF+∠BDG=90°

易證得△ODF相似于△DBG

∴OF∶DG=DF∶BG

設(shè)OF=m，DF=n，∴m∶（8-n）=n∶（4+m）

又∵m2+n2=OD2=16，易求得m=2.4，n=3.2.

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）

本題采用的第二種解題方法是從三角形相似的角度入手，而建立三角形相似關(guān)系的關(guān)鍵因素是利用了幾何知識(shí)中的一個(gè)基本圖形——“K”字型。初中數(shù)學(xué)教材中有很多數(shù)學(xué)模型，“K”字型是其中的一種重要模型。這種數(shù)學(xué)模型常常出現(xiàn)在“三角形全等”和“三角形相似”的解題中，有時(shí)也在平面直角坐標(biāo)系的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題中有所應(yīng)用。《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，其中重要的一點(diǎn)就是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。熟練掌握這種基本圖形不但對(duì)提高學(xué)生的解題能力有很大的幫助，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也有很大的幫助。

初中幾何中的“K”字型問(wèn)題具有一些典型特征，熟練掌握這些特征對(duì)學(xué)生更好地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題有所幫助。應(yīng)該引起注意的是“K”字型中具有“一線三等角”的基本要素。如圖4，∠1=∠2=∠3，且它們的頂點(diǎn)在直線AB上，這就是“K”字型模型。在“一線三等角”的條件下可以得到△AEC∽△BCF，這為利用這一數(shù)學(xué)模型解決其他邊角之間的關(guān)系提供了便利。

上題中出現(xiàn)了∠OFD=∠ODB=∠DGB=900這種數(shù)學(xué)模型的特殊情況，這種特殊情況也是實(shí)際解題中出現(xiàn)得最多的，應(yīng)作為學(xué)生理解掌握的重點(diǎn)。特殊條件下，“K”字型模型演變成了圖5所示的情況，如圖，B、C、E三點(diǎn)共線，∠B=∠ACD=∠E=90°，易證得：△ABC∽△CED。這是初中數(shù)學(xué)中最常見的“K”字型模型的形態(tài)。

在一定的條件下，“K”字型相似問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為“K”字型全等問(wèn)題。

例1：如圖6，將等腰直角放在直角坐標(biāo)系中， 其中∠B=90°，點(diǎn)A（8，4）、B（0，10），求AB的長(zhǎng)及點(diǎn)C的坐標(biāo)。

本題如果去掉平面直角坐標(biāo)系的問(wèn)題背景，實(shí)際就是等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)B在一條直線上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在三角形ABC旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，它的形狀、大小不變，體現(xiàn)在三角形ABC中線段AB、BC、AC的長(zhǎng)度不變，∠ABC、∠A、∠C的度數(shù)不變。在三角形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中也有發(fā)生改變的元素，如三角形位置會(huì)發(fā)生改變，在位置改變的過(guò)程中又會(huì)帶來(lái)新的變與不變的量。如圖7中，作線段AD、CE垂直于x軸，D、E為垂足。在三角形ABC旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段AD、BD、BE、CE的長(zhǎng)度會(huì)隨著三角形ABC的位置改變而改變，但是在一定條件下三角形ABD與三角形BCE又始終保持全等，這也是本題求解的關(guān)鍵。再回看圖2，可以發(fā)現(xiàn)本題由在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題演變成了“K”字型全等的問(wèn)題。

在分析本題的過(guò)程中讓學(xué)生充分發(fā)掘圖形中變與不變的量，把握住問(wèn)題的關(guān)鍵有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生利用基本圖形解決問(wèn)題的能力。

例2：如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC，∠EDB=45°，BE=5CE，CD=3，求AB的長(zhǎng)。

相對(duì)上題，本題所給的條件較為抽象，但∠BDE=45°給我們留下了想象的空間。充分利用這個(gè)45°角構(gòu)造等腰直角三角形可以為我們打開解題思路。如圖9，過(guò)E點(diǎn)作EF垂直于DE交DB于F點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)作FH垂直于BC，H為垂足，這樣就可以構(gòu)造出“K”字型全等的基本圖形，利用△DCE與△EHF的全等關(guān)系解決問(wèn)題。

前面所選用的幾個(gè)例題中，三等角都是以直角的面貌呈現(xiàn)，都是“K”字型模型中的特殊情況，也是較為常見的形態(tài)。但是作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，我們也會(huì)遇到非直角的三等角的情況，而這些題型更應(yīng)引起我們的重視。

例3：如圖10，等邊三角形ABC中，D點(diǎn)是線段AB中點(diǎn)，若∠EDF=60°，AB=6，AF=2，求線段BE的長(zhǎng)。

本題中，條件“等邊三角形ABC”隱含地告訴我們，∠A、∠B都等于60°，結(jié)合條件∠EDF=60°，本題具備了“K”字型問(wèn)題中“一線三等角”的基本條件。

例4：如圖11，等腰直角三角形ABC中，D點(diǎn)在線段AB上，且AD=DB，若∠EDF=45°，AF=3，BE=4，求AB的長(zhǎng)。

與例3類似，本題中條件“等腰直角三角形ABC”間接地告訴我們圖中∠A、∠B都等于45°，結(jié)合條件∠EDF=45°，本題同樣具備了“一線三等角”的基本要素。

例5：（1） 如圖12，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E，證明：DE=BD+CE.

（2）如圖13，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3） 拓展與應(yīng)用：如圖14，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀。

例5是“K”字型問(wèn)題的一個(gè)綜合性問(wèn)題，本題中三個(gè)問(wèn)題從特殊到一般層層遞進(jìn)，充分體現(xiàn)了綜合性幾何問(wèn)題是由簡(jiǎn)單問(wèn)題、基礎(chǔ)性問(wèn)題構(gòu)成的特點(diǎn)。

以上這幾個(gè)題目，選取的都是初中數(shù)學(xué)中比較常見的類型，而在實(shí)際解題中，這一類型的問(wèn)題也時(shí)常出現(xiàn)在矩形、等腰梯形等不同的問(wèn)題背景之下，本文不一一列舉。要判斷這些問(wèn)題是否屬于“K”字型這種數(shù)學(xué)模型，就要仔細(xì)分析題中是否具備“一線三等角”的基本要素。如果屬于“K”字型問(wèn)題，往往可以利用圖中隱含的三角形相似或三角形全等來(lái)解決問(wèn)題。

任何一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形都是由基本圖形構(gòu)成的，要能夠從紛繁復(fù)雜的幾何圖形中找到解決問(wèn)題的辦法，就需要我們對(duì)初中幾何中一些基本模型有清晰的認(rèn)識(shí)，能夠從復(fù)雜圖形中離析出基本圖形，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力將會(huì)有很大的幫助。