創設簡約有效問題，培養數學核心素養

金雪霞

摘 要：培養學生的核心素養是課堂教學的導向，簡約是指簡單到只剩本質，簡約而有效的數學問題的能引發學生深度思考，進而培養學生數學核心素養。本文針對知識生成處、例題變式處及問題剖析處，來談談如何創設簡約而有效的數學問題來培養學生的數學核心素養。

關鍵詞：簡約;問題;數學核心素養。

培養學生的核心素養是課堂教學的導向，六大數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。如何理解簡約？中國當代教育家薛法根說：“簡約就是以簡馭繁，返璞歸真，追求的是一種真、純、實、活的教學境界。”通俗地說，簡約就是簡單到只剩本質。創設簡約而內涵豐富的問題的才能引發學生深度思考，進而培養學生數學核心素養。本文于知識生成處，例題變式處，及問題剖析處，來闡述筆者針對這個主題在日常教學中所進行的嘗試和思考。

一、于知識生成處，思簡約，培素養

筆者以浙教版九下《1.1 銳角三角函數（1）》為例，來談談如何創設簡約有效問題，讓學生經歷知識生成的過程，并從中培養學生數學核心素養。

本節是解直角三角形的起始課。在學生掌握了直角三角形的基礎知識后，進一步來研究直角三角形的邊與角之間的關系;在相似三角形和函數概念基礎上，來學習銳角三角函數的概念。銳角三角函數是聯系直角三角形邊與角的橋梁，還是線段比值傳遞的有效工具，也是高中階段繼續研究三角函數必備的基礎。它無論是意義還是表示的符號，都有別于學生之前所學過的一次函數、反比例函數和二次函數，這對本階段學生而言比較抽象，是本節課的難點。筆者針對本節核心知識及其內在邏輯體系，結合本班學情，設計以下兩個個問題串來引導學生經歷銳角三角函數的概念的生成過程：

問題串一：

問題1.如圖1，在含30°角的直角三角形中，若斜邊長是6，則可以求哪些量？

問題2.如圖2，在含45°角的直角三角形中，若斜邊長是6，則角的對邊長是多少？

問題3.如圖3，在60°角所在直角三角形中，60°角的對邊與斜邊的比值是多少？

問題4.如圖4，在含40°角的直角三角形中，若斜邊長是6，能求60°角的對邊長嗎？

這個問題串驅動學生思考提煉得：直角三角形中特殊的角度帶來兩邊的數量關系，結合勾股定理，三邊的比值就被唯一確定，從而根據任何一邊的長就能求出其余兩邊的長。從中體現了學習銳角三角函數的意義，也為解直角三角形埋下伏筆。同時，本問題串讓學生初步感受：隨著銳角度數的變化，所在直角三角形邊的比值隨之變化，隨著銳角度數的確定，所在直角三角形邊的比值隨之唯一確定。再引到40°角的直角三角形問題，順利開啟本章學習并自然引出本節課題。這個簡約的問題串貼近學生的最近發展區，有著豐富的內涵，培養學生的直觀想象等數學核心素養。

問題串二：

問題1.40°角所在直角三角形中，角的對邊與斜邊的比值是否唯一確定？

問題2.在直角三角形中，銳角α的對邊與斜邊的比值與銳角α的大小之間存在怎樣的對應關系？

問題3.銳角α的對邊與斜邊的比值是關于銳角α的一個函數嗎？如果是，這個函數的名稱是什么？如何表示呢？

問題4.在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比值、對邊與鄰邊的比值與銳角α的大小之間又存在怎樣的對應關系？

問題串二的問題1通過學生思考、談論，借助相似三角形判定與性質可發現：40°角所在直角三角形中，角的對邊與斜邊的比值是唯一確定的。結合30°，45°和60°角的情況，讓學生充分感受：銳角α的對邊與斜邊的比值是銳角α的一個函數，從而銳角α的正弦函數概念呼之欲出。這個簡約的問題串讓學生回顧函數概念，并自然生成正弦函數的概念及表示。在正弦學習的基礎上，學生類比探究銳角α的余弦函數與正切函數。這一探索發現的過程落實了銳角三角函數的概念及表示，突出了本節重點，本節課的難點也隨之突破。通過由特殊到一般，培養學生的數學抽象能力等數學核心素養。

二、于例題變式處，求簡約，助素養

以浙教版九下《1.1 銳角三角函數（1）》為例，來談談如何將例題進行有效的變式，從而創設出簡約有效問題，來幫助學生形成數學核心素養。

例題.如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，求∠A的正弦、余弦和正切.

通過此例題的自主學習，學生及時鞏固銳角三角函數概念，掌握直角三角形中銳角三角函數與邊之比的關系，并掌握解題規范。本例題同時讓學生感受：直角三角形中求銳角三角函數值常結合勾股定理。

針對本例作如下變式，來鞏固和提升本節核心知識，以幫助學生形成數學核心素養：

變式1：在例題的條件下，求∠B的正弦、余弦和正切.

變式2：將例題中“AB=5，BC=3”，改為“AC：BC=4：3”.

變式3：已知sinA=0.6，求cosA，tanA.

變式4：如圖6，作Rt△ABC斜邊AB的高線CD，求∠ACD的正弦、余弦和正切.

這四個變式練習讓學生進一步掌握直角三角形中銳角的正弦、余弦和正切與邊之比的關系，學會銳角的正弦、余弦和正切求法。變式1結合例題可啟發學生由此特殊情況一般化到互余兩角的三角函數之間的關系，有助于學生形成數學抽象等數學核心素養。本節例題及4個變式，形成一串簡約有效富有探究價值的問題，從中幫助學生形成數學抽象、邏輯推理等數學核心素養。

3.于問題剖析處，促簡約，重素養

以浙教版九下《1.1 銳角三角函數（1）》例題的變式4為例，來談談剖析問題時如何創設簡約問題，進而加強學生的數學核心素養的培養。

該問題首先給學生獨立思考的時間，對于本變式問題不同層次學生會有不同解決的辦法。先讓中等層次學生闡述解題思路，學生通常直接在Rt△ACD中進行求解，這需要先計算AC，CD與AD的長，能解決問題卻不是此題最優的方法。教師肯定其解法，并及時總結其解法：通過尋找目標角度所在的直角三角形進行求解。緊跟著追問：有不同方法？有學生發現可以轉化∠B的正弦、余弦和正切，在已知兩邊的Rt△ABC中直接求解即可。從中學生感受數學轉化之美，加強學生邏輯推理這一數學核心素養的培養。通過簡約的提煉和追問，讓學生經歷問題的剖析過程，從中培養學生邏輯推理能力，進而加強學生的數學核心素養的培養。

簡約有效的問題，能引發學生探究知識的本源，在直擊問題的本質的過程中喚醒與提升學生潛能，促進學生數學思維與能力的發展，進而提升學生數學核心素養。

參考文獻

[1]華志遠.數學核心素養的內涵及構成[J].教育研究與評論（中學版）， 2016，5：41-44.

[2]楊九詮.學生發展核心素養三十人談[M].華東師范大學出版社，2017.