“巧”作輔助線，“多”解幾何題

杜高俊

【摘要】中考數學試題中，圖形與幾何是重點考查的內容之一，其中與圓有關的幾何知識更是歷年中考考查的重點.在求解與圓有關的幾何證明題時，可以“巧”作輔助線，通過構造直徑所對的圓周角是直角、構造兩條平行線、構造三角形全等或相似、構造圓的半徑等方法來找到相等的角或相等的弧，從而從不同的角度解決問題.本文以2021年貴陽市中考數學試題第23題為例，通過不同方式輔助線的“巧”作，探討與圓有關幾何問題的求解方法多樣性，從而提供在圓的綜合問題求解過程中構造輔助線的思路與通法.

【關鍵詞】圓；輔助線；解題方法

1試題呈現

（2021年貴陽市中考數學試題第23題）如圖1，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點E是AC的中點，過點E作AB的垂線，交AB于點M，交⊙O于點N，分別連接EB，CN.

（1）EM與BE的數量關系是；

（2）求證：EB=CN；

2背景分析

本題是一道綜合運用圓的有關知識解決問題的解答題.知識層面考查了對圓周角的性質定理、圓心角及其所對應的弧或弦之間的關系、扇形的面積公式、特殊角的三角函數、三角形全等及三角形相似判定、等腰直角三角形的性質及正三角形的面積計算等內容的掌握情況，能力層面考查對數學運算、幾何直觀、邏輯推理等學科素養的掌握情況.

試題以圖形與幾何→圖形的性質→圓→圓的綜合知識作為命題主線，以圓的對稱性、圓心角與圓周角之間的關系、圓的有關運算作為考查核心，與初中所學知識融會貫通，較好地考查對圖形與幾何部分知識的掌握情況.

本題第一問為填空，主要考查常見幾何模型的掌握情況；第二問為幾何證明，考查邏輯推理能力.試題形式豐富、梯度合理、考查全面、難易適中，具有較好的難度與區分度.可通過對本試題的求解，總結掌握與圓有關幾何問題的求解通法.

3解法探究

（1）解：如圖2，連接EO，

則∠AOE＝90°，∠ABE＝12∠AOE＝45°.

所以Rt△BME是等腰直角三角形.

所以BE=2EM.

（2）思路1利用直徑所對的圓周角是直角

解法1如圖3，連接EC，AE.

因為AC為⊙O的直徑，

所以∠AEC＝90°.

所以∠1＋∠2＝90° .

因為EN⊥AB，

所以在Rt△AEM中，∠1＋∠3＝90° .

所以∠3＝∠2.

所以EB=CN.

解法2如圖4，連接BN，AN.

因為EN⊥AB，

所以在Rt△BMN中，∠1＋∠3＝90°.

因為∠ANC ＝ 90°，

所以∠2+∠4＝ 90°.

因為∠1＝∠2，

所以∠3＝∠4.

所以BE=NC.

解法3如圖5，連接AN.

因為∠ANC ＝ 90°，

所以∠1+∠2＝ 90°.

因為 EN⊥AB，

所以∠1+∠BAN＝ 90°.

所以∠2＝∠BAN.

所以EC=BN.

所以EC－BC=BN－BC.

即BE=CN.

解法4如圖6，連接AE，AN.

因為∠ANC＝90°，

所以∠3＋∠4＝90°.

因為在Rt△AEM中，∠AME＝90°，

所以∠1＋∠2＝90°.

因為∠1＝∠4，

所以∠2＝∠3.

所以BE=NC.

解法5如圖7，連接BC，BN.

因為∠ABC＝90°，

所以∠1＋∠3＝90°.

在Rt△BMN中，∠2＋∠3＝90°，

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

思路評析根據“直徑所對的圓周角是直角”這一定理，得到在圓的綜合應用題中作輔助線的一個思路，即構造直徑所對的圓周角.其次，當圖中不止一個直角時，可以聯想同角或等角的余角相等，來找到兩個相等的角.

思路2利用兩平行線的判定和性質

解法6如圖7，連接BC，BN，

則∠ABC＝90°.

因為∠EMB＝90°，

所以∠ABC＝∠EMB，

所以BC∥EN.

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

解法7如圖8，連接EC，BC，

則∠EMB＝∠ABC＝90°.

所以BC∥EN.

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

思路評析平行線的判定和性質也可以應用到圓的綜合應用問題中.在解決圓的綜合問題時，可以思考是否可以構造兩條平行線，從而利用平行的位置關系找到角的相等關系.

思路3利用三角形全等或相似

解法8如圖6，連接AE，AN.

因為∠1＝∠4，∠ANC＝∠AME＝90°，

所以△AME∽△ANC，

所以∠2＝∠3，

所以BE=NC.

解法9如圖9，連接EO并延長，交AB于P，交圓O于F.

因為E是AC的中點，

所以EF⊥AC.

所以EC=FC，∠EOA＝90°.

所以△EPM∽△APO.

所以∠1＝∠2，

所以FN=BC.

所以FC－FN=EC－BC.

即BE=CN.

解法10如圖10，連接BC，過C作CF⊥EN，垂足為F，則四邊形BMFC為矩形.

所以BM＝CF，∠EMB＝∠CFN＝90°.

因為E是AC的中點，

所以AE=EC，

所以∠2＝∠3.

又由（1）得∠1＝∠2，

所以∠1＝∠3.

所以△EMB≌△NFC，

所以EB＝CN.

所以BE=CN.

思路評析相似三角形和全等三角形的對應角相等.在解決圓的綜合問題時，可以構造三角形相似或全等，來找到角的相等關系.

思路4構造半徑

解法11如圖11，連接EO，AE，AN.

因為E是AC的中點，

所以∠AOE＝90°.

所以∠4＝12∠AOE＝45° .

所以在Rt△AMN中，∠MAN＝45°.

所以∠EAO＝∠MAN＝45°.

所以∠1+∠2＝∠2+∠3，

所以∠1＝∠3.

所以BE=NC.

解法12如圖12，連接EO，BO，NO.

由（1）知∠3＝45°，

所以∠BON＝2∠3＝90°，

所以∠EOC＝∠BON＝90°，

所以∠EOC－∠BOC＝∠BON－∠BOC，

即∠1＝∠2，

所以BE=NC.

解法13如圖13，連接EO，AE.

則由（1）得∠1＝∠2＝45°.

因為在Rt△AEO中，AO＝EO，

所以∠EAO＝45°.所以∠1＝∠EAO.

所以BN=EC.所以BN－BC=EC－BC.

所以EB=CN.

思路評析在圓的綜合問題中，可以通過構造半徑找到圓心角，并利用圓周角與圓心角的關系與垂徑定理等知識，從而得到角相等或是弧相等.

4解后反思

本題第（2）問解法很多，有的簡單，有的較為復雜，主要是由于輔助線的作法不同導致的.可以通過這道題的求解，總結出圓中輔助線的作法主要有構造直徑所對的圓周角、構造半徑、構造兩條直線平行、構造三角形全等或相似等方法，并通過“巧”作輔助線來找到角相等或者弧相等，從而總結掌握與圓有關幾何問題的解法.

平時的學習過程中要善于總結和反思，找到一種解題的方法后，不妨靜下心來再想一想，還有沒有更高明的解法，更高明的解法可能會用到更多的知識來說明其中的奧妙，這時可以再進一步想一想，能不能用更少、更基本的知識來說明那些原本以為要用較多的知識才能解決的問題[1].最后，可以將不同的解法進行總結和反思，優化解答問題的方法，尋找解決問題的通法，并遷移到其他問題中，這對提高數學解題能力有一定的促進作用.

參考文獻：

[1]張景中.新概念幾何[M].北京：中國少年兒童出版社，2016.