MKT視角下的“師范性”零點

李瑞喜

【摘要】隨著社會經濟的發展，人們逐漸對教育提出了更高的要求，不僅體現在學生的學習方法上，還體現在教師的教育思路上。本文從教師教學所需要的數學知識（MKT）角度對零點進行分析，以期尋求新的教學模式，進而加快教育的改革與發展步伐，提高學生的思維能力與創新能力。

【關鍵詞】MKT;教育改革;零點

零點是人教版必修一中第三章的教學內容。陳舊的教育方式具有難、繁、偏、舊等問題，已不適合現代教育及學生的身心發展，于是新型的教育方式應運而生。教師要學會在Mathematical Knowledge For Teaching（以下簡稱MKT）視角下對教育方式進行研究，以便于協助學生構建新的知識框架。

一、“晨曦”MKT理論的光輝

1986年美國教育學家舒爾曼提出教學內容知識（Pedagogical Content Knowledge）理論，簡稱PCK，隨后Ball及其團隊從基礎教育的實踐中出發，對教師教學知識進行測量、分析和分類，形成了一套有關教師用于教學數學知識的理論體系，簡稱MKT。

二、“余暉”下的零點

本節主要內容是在教師MKT視角下用函數的圖像及其基本的性質來探討零點的存在性和研究性。其中MKT視角下的零點包括SMK（學科知識）——CCK（一般性內容知識）、HCK（橫縱向內容知識）、SCK（專業性內容知識）和PCK（教學內容知識）——KCT（教學知識與內容）、KCS（學生與教學內容）、KCC（課程與教學內容）。

1.基礎的CCK

CCK指的是一般性內容知識。在本階段，學生要對函數圖像、性質以及零點與其相互之間的轉化有所了解，要掌握零點的“純”數學知識，同時，教師必須能熟練使用函數圖像和數學語言解決零點問題。在本節課，教師要明白零點是如何定義的，還要明白如何把它轉化成兩個函數圖像交點的問題。

2.專業的SCK

SCK指的是教師為了教學的需要，要掌握更加專業的數學知識，能夠將前后知識銜接起來，保證自身知識儲備量遠大于上課所需要的內容，以便于準確地解釋學生的錯誤，分析學生錯誤的本質，為常規和非常規問題尋找合適的解決辦法。本節課，學生的易錯點主要集中于以下幾方面：①零點的概念不清晰;②零點的兩種求法（二分法和圖像法）理解不到位;③學生作圖不標準，轉化不恰當，缺乏靈活應用所學知識的能力，無法將函數圖像與零點有效地銜接起來。例如，函數的零點是多少？部分學生直接讓 f（x）=0 后進行計算，最后發現出現三次方程，導致難以進行下一步計算;還有部分學生采用二分法不斷細分零點的范圍，但有時候也是無功而返。以上情況出現的原因是學生對于零點的理解不到位，沒有進行多角度的思考分析。其實，這道題可以將 f（x） 拆分成 g（x）=x2+1和，則 f（x） 的零點就是 g（x） 與 h（x） 圖像交點的橫坐標。由于學生對于二次函數 f（x） 圖像和反比例函數圖像比較熟悉，所以可以通過作圖判斷出交點的范圍及坐標，這樣就能比較簡單地判斷出零點的值。學生出現錯誤的實質是他們對概念的理解不到位，沒有將相關的知識銜接起來，所以教師要培養學生的思維能力、創造能力，引導他們對疑難問題進行判斷和解決。

3.淵博的HCK

HCK指的是橫縱向內容知識，在新的思維角度下研究零點的發展，幫助學生將前后內容銜接起來，構建新的知識框架。從橫向角度看，零點的產生主要是通過對函數圖像與x軸交點橫坐標進行分析所產生的，先是在必修一的第一、二章對函數的圖像性質及方程進行分析討論，隨后由于學習的需要，零點的概念應運而生，所以教師要精通函數、方程和零點的相互轉化，引導學生進行探究。從縱向角度分析，零點的產生不僅應用到了二維的圖像，還與三維空間緊密結合，同時將直接求零點的問題轉化成求兩個函數交點的問題，這種思維的轉變需要教師積極的引導，協助學生構建新的知識框架，提高學生的學習興趣和思維能力。

4.以學生為核心的KCS

KCS是指學生與內容知識，它要求教師必須對學生有所了解，不僅要了解他們的學習方式、身心發展，還要關心他們的家庭教育和生活環境，以便更好地引導學生建構屬于自己的知識框架，對有關零點的誤區和迷惑的地方及時地進行指點。本節課的主要誤區有以下幾個方面：①零點為什么不是點呢？②什么時候將函數 f（x） 的零點轉換成 g（x） 和 h（x） 的交點更加方便？教師要明白學生的認知水平，要以引導者的身份幫助學生解決困惑，走出誤區，多角度地分析學生與教學的銜接工作，打造以學生為核心的教育新模式。

5.知識海洋KCT

教師的KCT所代表的內容與教學知識能夠與學生的思維方式有效地結合起來，同時對于不同的內容有不同的表達方式，能夠判斷出課程的導入是否符合教育的標準，是否能夠將前后知識聯系在一起，通過不同的表達方式引入“零點”新知識，幫助學生架起知識的大橋。對零點的導入有兩種方法，導入一：① f（x）=x+1與x軸的交點是什么;② f（x）=x2-1與 x 軸交點是什么;③零點概念;④ f（x）=ex+x2-1的零點是什么？導入二：① f（x）=x+1與x軸的交點是什么;② f（x）=x2+2x-3與 x 交點是什么？h（x）=x2 與 g（x）=-2x+3 的交點是什么;③上述問題有什么聯系;④零點概念。上述兩種導入方法都是通過計算函數與 x 軸的交點，將零點進行概念轉化，從而幫助學生理解零點的實際含義，不過兩種導入方法在第二步開始有了差別，導入一是在一次函數的基礎上進行二次函數交點的研究，從而得出零點的概念，但 f（x）=ex+x2-1與 x 軸的交點難以進行直接計算，導致學生不能真正掌握零點的幾何含義;而導入二是在第二步中對二次函數與 x 軸交點進行了直接分析，轉化成新函數交點分析的兩種方法，從而幫助學生多角度地構建有關零點的思維方式。

6.回歸課堂KCC

KCC指的是課程與內容知識，將教師的CCK、SCK、HCK、KTC、KCS真正地融入課堂。教師不僅要熟練地掌握教材，還要懂得與教材相關的數學史，以便于從橫向、縱向角度將零點的概念、幾何含義及轉化方法聯系起來，以學生最近發展區為根基，選擇恰當的教材，構建新的知識框架。從橫向角度考慮，教師要明白在對物體運動圖像的研究中，零點的作用尤為重要;從縱向角度考慮，教師一定要清晰地認識到零點在高中教材中的教學目標和要求。教師不僅僅要引導學生學習零點的知識，更重要的是培養學生的思維能力和創造能力，發掘學生的潛能，為21世紀新的教育改革貢獻一份力量。

三、結語

本文緊隨課程改革大方向，為了加快推進教育的發展變革，以MKT為理論框架，選取高中數學知識點——“零點”，對其教學設計中MKT的各種成分進行分析和探討，以選取真正適合學生身心發展及認知水平的內容和教法，從教師的MKT視角下認識“師范性”零點，以達到協助學生理解并掌握相關基礎知識的目的。

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