例談初中生數學抽象能力的培養

姜鴻雁　趙維坤

摘要：基于2018年江蘇省義務教育學生學業質量監測中主要考查數學抽象能力的8個小題及6個師生問卷題的監測結果，對初中生數學抽象能力的培養提出教學建議：創設氛圍，引導學生體會“具體”與“抽象”的辯證關系;搭建平臺，助力學生“理性抽象”能力的形成;放手閱讀，讓學生“穿行”于各種語言之間。

關鍵詞：學業質量監測 數學抽象能力 感性具體 理性抽象 數學語言

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的能力。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。數學抽象具體表現在四個方面：一是感悟現實生活中數的意義，估算運算結果;二是用符號表示數、數量關系和變化規律;三是從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念;四是借助符號進行運算和推理，抽象出一般規律和結構。數學抽象能力從高到低可以分為A、B、C、D四個水平。

數學抽象是數學關鍵能力的構成要素，是最基本的數學思想，是數學自身發展、應用的基礎。它源于現實又高于現實，基于具體又高于具體，體現“九九歸一”“和而不同”的哲學思想。培養學生的數學抽象能力，就是培養學生“用數學眼光觀察世界”的能力和“透過現象看本質”的認識事物的本領，對學生的終身發展有著不可替代的作用。

2018年江蘇省義務教育學生學業質量監測中，共設計了8個小題（下文提到的每一個試題都是其中之一，用字母與數字的組合進行編號）主要用以考查學生的數學抽象能力。本文根據全省46262名八年級學生的測試成績、問卷調查以及4573名數學教師的問卷調查得到的數據分析，對初中生數學抽象能力的培養提出相應的教學建議。

一、創設氛圍，引導學生體會“具體”與“抽象”的辯證關系

數學因為高度抽象，讓不少學生望而卻步，讓不少人認為是“冰冷的美麗”。所以在教學過程中，面對一個個具體現象，要讓學生充分經歷“觀察，思考它們背后的共性，并表達這一共性”的過程，體會到“抽象”是一個個“具體”現象共性的表達，產生“九九歸一”之感;同時，面對“抽象”的結果，也要讓學生賦予它一個個“具體”的背景，使它富有“活力”，感受到抽象背后的“和而不同”。

試題M8BS111根據圖1計算：1+3+5+7+…+（2n-1）=。（結果用n表示，其中n是正整數）

本題主要用來測試學生“借助符號進行運算與推理，抽象出一般規律和結構”這一數學抽象具體表現的水平狀況。本次測試中，本題的平均得分率只有45.6%，解答不正確的占43.4%，沒有作答的占11.0%;數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的平均得分率分別為70.6%、25.0%、7.0%和2.8%。這與命題時預估的得分率62%有一定的差距。

由學生的錯誤解答可以看出，有超過一半的學生不能夠自如地在符號語言、圖表語言之間切換。他們面對圖中的多個“┐”組成的圖形，不能發現數字之和與小圓圈總數、小圓圈總數與小圓圈構成的“正方形的邊長和面積”之間的關聯。如果學生能在“抽象”與“具體”之間自如穿梭，面對這個問題，就能夠自覺地轉化到簡單的具體的情形：當n=1時，圖形是什么樣的，結果是什么？當n=2時，圖形變成什么樣，對應結果是什么？n=3呢？n=4呢？……其中蘊藏的規律便會在這一個個“具體”中慢慢顯露出來，解決本題就不困難了。這一思維過程體現了化抽象為具體、化一般為特殊、化難為易的思想方法。

“用字母表示數”是初中階段正式跨入“數學抽象殿堂”的標志，對整個初中階段各個數學領域的學習都會產生深遠的影響。下面便是筆者設計的蘇科版初中數學七年級上冊第3章第1節“用字母表示數”教學中具有代表性的兩個環節。

環節1

2+3=3+2;1/2+（-3）=（-3）+1/2;（-6）+（-3/5）=（-3/5）+（-6）。請同學們模仿以上例子，寫幾個類似的式子。

設計該環節時，預設學生在仿寫的過程中，首先會慢慢在心理上感覺到“麻煩”，其次會發現仿寫的式子之間的共性，第三會聯系小學時學過的加法交換律，從而產生用字母表示數量關系的愿望與結果。事實上，在課堂上，仿寫到第六位學生時，他直接說道：“像這樣的式子寫不完啊，直接a+b=b+a！”這句話道出了數學抽象的魅力。

筆者認為，“用字母表示”最好不是教師發出的“指令”，而是學生內心自發的需要。這是學生“認可”數學抽象的好機會。把握好這個機會，需要教師替學生創造“內需”的氛圍。所以，筆者給足學生“仿寫”的時間，“逼”學生感到這樣寫下去無窮無盡，“逼”學生思考并發現不同式子之間的“共性”（本質），并產生表達這一本質的愿望。

環節2結合生活實際，對于式子（1-10%）a，你希望字母“a”表示什么？

該環節旨在給學生開放的空間，創造由“抽象”回到“具體”的氛圍。學生的回答讓筆者欣慰，諸如：“我希望是我們國家沙漠的總面積，這樣我們的環境會越來越好?！薄拔蚁Ｍ遣∪说娜藬担@樣健康的人越來越多。”……向善是人性之本，育人在潛移默化之中。

數學抽象對抽象思維能力要求高，數學抽象能力不可能經過一節課或幾節課便形成。教師心中裝載著“抽象”與“具體”的辯證關系，充分為學生提供體驗的機會，讓學生經歷“火熱的思考”，切實體會到“具體”的“形象性”、“抽象”的“必要性”，從而既喜歡“具體”，又親近“抽象”，最終能夠面對“具體”提煉“抽象”，面對“抽象”回歸“具體”，并形成思維的習慣，數學抽象能力的培養便落地生根了。

二、搭建平臺，助力學生理性抽象能力的形成

從現實到數學，是“感性具體”到“理性具體”的過程。隨著研究的深入，學生還得經歷“理性具體”到“理性抽象”的過程：在較為復雜的情境中識別數學概念，根據對象的意義、性質判斷對象的屬性以及其與相關對象之間的聯系與區別;利用數學語言準確地描述數學對象的特征，并進行多方面的解釋。在教學過程中，教師要對學生的學習起點作準確的預估，準確定位學生的“最近發展區”，在適當的時期給學生搭建適宜的“腳手架”（平臺），助力學生逐步形成“理性抽象”的能力。

試題M8AS162如圖2，分別以線段BD的端點B、D為圓心，相同的長度為半徑畫弧，兩弧相交于A、C兩點，連接AB、AD、CB、CD。若AB=2，BD=2√3，求四邊形ABCD的面積。

本題主要用來測試學生“從圖形與圖形的關系中抽象出數學概念”這一數學抽象具體表現的水平狀況。本次測試中，本題的平均得分率為69.1%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的平均得分率分別為93.4%、66.7%、9.2%和0.2%。

分析錯誤解答，可以得到如下幾個主要原因：一是不能從作圖過程中抽象出四條邊都相等的信息，導致無法得到菱形的概念，自然無法解決問題;二是菱形的結論純屬“目測”，主觀感覺得到，沒有經過邏輯推理證明，所以不是運用對角線的性質解決問題，而是過頂點A作對角線BD的垂線，并“默認”垂足平分BD，“默認”△ABD與△CBD的面積相等;三是運用勾股定理時，只記“平方和”的形式，不識別斜邊與直角邊，得到錯誤答案221;還有二次根式運算不過關等。

拋開數學運算方面的錯因，不難發現，無法從作圖的情境中抽象出所畫的圖形是菱形，是最主要的錯因。這給我們一個啟示：學生在“理性抽象”的過程中，需要必要的“腳手架”（平臺）助力。以本題為例，可能在不少教師眼里，由這個作圖過程得到菱形的概念不難，但是對于八年級的學生來說，其實不然。雖然學生在小學里已經認識了圓，會用圓規畫圓（此時畫出的圓，筆者稱為“理性具體”，因為畢竟不同于具體的圓形實物），但是對圓的本質——到定點的距離等于定長（筆者稱為“理性抽象”）的學習在九年級。根據筆者多年的教學經驗，在九年級學過圓的概念后，學生還需要一定時間的順應與同化，更何況是八年級的學生？

教師面對教學內容要有“高觀點”，面對學生還要“俯下身”。例如，從七年級到八年級，學生已經多次接觸尺規作圖，比如作一個角等于已知角、作已知角的角平分線、作已知線段的垂直平分線等。在必要時，教師要把所畫的圓弧上的點與圓心連起來，讓“心目中”的半徑——那些相等的線段“可視化”，從“無形”到“有形”，便于學生抽象出圖形與圖形之間的關系;還要引導學生思考作圖背后的數學原理，從而既有利于發展邏輯推理這一關鍵能力，又有利于從圖形與圖形的關系中抽象出數學概念。

三、放手閱讀，讓學生“穿行”于各種語言之間

解決一個數學問題的過程，常常是先閱讀自然語言，從中提煉數學信息，再對信息進行加工，從而選擇適當的數學模型解決問題。能夠在自然語言、符號語言、圖形語言、表格語言之間自如地切換，是數學抽象能力初步形成的標志。

試題M8AS181如圖3，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數字。它是由前12位數字和校驗碼構成的，其結構分別代表“國家代碼、廠商代碼、產品代碼和校驗碼”。

其中，校驗碼是用來校驗商品條形碼中前12位數字代碼的正確性的。它的編制是按照特定的算法得來的。其算法為：

步驟1：計算前12位數字中偶數位數字的和a，即a=9+1+3+5+7+9=34;

步驟2：計算前12位數字中奇數位數字的和b，即b=6+0+2+4+6+8=26;

步驟3：計算3a與b的和c，即c=3×34+26=128;

步驟4：取大于或等于c且為10的整數倍的最小數d，即d=130;

步驟5：計算d與c的差，就是校驗碼X，即X=130-128=2。

請解答下列問題：

（1）《數學故事》的條形碼為9 787 534 546 47Y，則校驗碼Y的值為。

本題主要用來測試學生“感悟現實生活中數的意義”這一數學抽象具體表現的水平狀況。本次測試中，本題的平均得分率為52.3%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的平均得分率分別為74.5%、37.0%、21.4%和6.7%。

對于這個測試結果，筆者認為，學生的閱讀能力，尤其數學閱讀能力的培養任重道遠。在日常教學中，不乏這樣的現象：教師為了節約課堂時間，不由自主地代替學生閱讀，代替學生從“生活”中抽象出“數學”，快速進入“數學”，用數學知識解決生活問題，并美其名曰“提高課堂效率”。實際上，在“被代替”閱讀的過程中，學生的閱讀能力得不到培養，從而喪失了發展抽象能力的機會。

下面是筆者講解一道應用題的實錄：

（出示題目：某地區居民用電，按高峰時段與空閑時段規定了不同的單價。某戶居民5月份高峰時段用電量是空閑時段用電量的兩倍，6月份高峰時段用電量比5月份高峰時段用電量少40%，結果6月份的用電量和5月份的用電量相等，但6月份的電費卻比5月份的電費少25%，求該地區空閑時段民用電單價與高峰時段民用電單價的比值。）

師 同學們默讀題目兩遍，有困難的同學舉手。

（近一半學生舉手。）

師 （對一位有困難的學生）困難在哪里？

生 題目太長，讀不懂什么意思。

師 分解題目的表述：“某戶居民5月份高峰時段用電量是空閑時段用電量的兩倍”這句話能理解嗎？可以通過什么方式表達這句話的數量關系？

生 能?？捎米帜竌表示“5月份空閑時段用電量”。

師 你還能表示——

生 還能表示“5月份高峰時段用電量”“6月份空閑、高峰時段用電量”。可是還有電費單價、電費，弄不清關系。

師 當數量關系復雜時，可以通過什么途徑將數量關系清晰地表達出來？

生 （齊）表格。

師 如何設計表格？

生 應該包括5月、6月，還有空閑用電量、高峰用電量、空閑電費、高峰電費等。

（該生在黑板上畫出表1。）

（對于電費的表示，有部分學生又出現困難。）

生哦，對了，再用字母表示空閑時段和高峰時段的電費單價啊。

……

數學的信息常?！把蜎]”在復雜的問題情境與冗長的文字表述中。這里，教師耐心地教會學生分解信息，抽絲剝繭，舍去事物的“物理屬性”得到數學的研究對象，并思考如何將研究對象之間的關系表達出來，讓學生逐漸能在自然語言、符號語言、圖形語言、表格語言之間自如地“穿行”。

此外，根據我們對學生就“數學抽象能力培養”的問卷題的調查結果可知，全省約有17%的教師給學生發展數學抽象能力的時間和機會不充裕或不夠充裕。因此，教師應該把培養學生的數學抽象能力當作數學教學的“行動指南”之一，給足學生閱讀、經歷、體會的時間與機會，讓學生對待周圍的世界慢慢養成“用數學的眼光觀察”的習慣，對待周圍的事物慢慢形成“透過現象看本質”的本領。

參考文獻：

[1]董林偉，喻平.基于學業水平質量監測的初中生數學核心素養發展狀況調查[J].數學教育學報，2017（1）.