模式識別理論指導下的數學解題教學

摘要：當主體接觸到數學習題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識和經驗發生聯系，從而利用熟悉問題的解題思路來發現新問題的解決方法，即模式識別策略。數學問題解決認知模型把解決數學問題分為4個過程：理解問題、選擇算子、應用算子、結果評價。以一道高考解析幾何題為例，說明模式識別策略在數學解題教學中的應用機理，揭示模式識別與思想方法、元認知、學習遷移、問題表征等的關系。

關鍵詞：模式識別數學解題思想方法元認知

美國教育心理學家奧蘇伯爾指出：意義學習的過程是新舊意義同化的過程。他認為，人類之所以能夠進行有意義學習，是因為新知識與原有的認知結構中的某些觀念發生了影響，即所學的新材料和原有的認知結構之間相互作用的結果。當主體接觸到數學習題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識和經驗發生聯系，從而利用熟悉問題的解題思路來發現新問題的解決方法，即模式識別策略。

南京師范大學喻平教授認為：一般地，模式識別是一種知覺過程，是感覺信息與長時記憶中的有關信息進行比較，再決定它與哪個信息有著最佳匹配的過程。他建立了一個數學問題解決認知模型的“循環系統”（如下頁圖1），把解決數學問題分為4個過程：理解問題、選擇算子、應用算子、結果評價。與之對應的認知過程分別為問題表征、模式識別、解題遷移、解題監控。這個認知模型同時也反映了模式識別與其他因素（如元認知、學習遷移、問題表征等）的內在關系。

作為一種重要的解題策略，模式識別在高中數學教學中的重要性是不言而喻的。下面以一道高考解析幾何題為例，嘗試說明模式識別策略在數學解題教學中的應用機理，揭示模式識別與思想方法、元認知、學習遷移、問題表征等的關系。

一、解題研究

題目（2019年高考數學全國Ⅰ卷第10題）已知橢圓C的兩個焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），過F2的直線與C交于A、B兩點。若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為（）

A. x22+y2=1B. x23+y22=1

C. x24+y23=1D. x25+y24=1

（一）問題表征：理解問題

問題表征是指根據問題提供的信息和自身已有的知識經驗，發現問題的結構，構建自己的問題空間的過程，即問題在頭腦中的呈現方式。具體地說，問題表征就是對條件和結論進行表征，弄清楚題目的條件、結論是什么——關鍵是它們的數學含義是什么;在此基礎上，弄清楚題目的條件和結論有哪些數學聯系，這種聯系是一種什么樣的結構。具體的做法就是進行文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉化，從題目的敘述中獲取數學“符號信息”，從題目的圖形中獲取數學“形象信息”。

由F1（-1，0）、F2（1，0），可知橢圓的半焦距c=1。由此就理解了問題結構：只要建立（尋找）另一個關于a、b的方程，再結合a2-b2=1，解出a、b即可。

依據條件過F2的直線與橢圓交于A、B兩點，|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，可以畫出示意圖，如圖2。示意圖是一種“形象信息”，對于幾何問題，它更能將所有的已知條件“集合”到一起，便于發現它們之間的聯系，洞察問題結構。

從中不難發現，A、B、F2三點共線——可能是建立方程的重要依據;以及|AF2|=2|BF2|，|BF1|=3|BF2|——利用基本量思想轉化得到更清晰的長度關系。

（二）模式識別：選擇算子

模式識別是指對數學模式的再認，就是盡力從自己的長時記憶中搜索有關的模式，用已有模式解決當前問題。模式識別以問題表征為基礎，又是實現解題遷移的前提條件。在模式識別階段，如果不能找到合適的模式與已表征的問題匹配，或找到的模式不能用于表征問題，那么需要重新表征問題。

模式1：觀察圖2，發現有橢圓上的點，也有橢圓的兩個焦點，還有它們的連線，很容易想到焦點三角形——一個重要的模式。連接AF1，顯然△AF1F2、△BF1F2是橢圓的兩個焦點三角形。由橢圓的第一定義，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a。又由|AF2|=2|BF2|，|BF1|=3|BF2|，可得|AF1|=|AF2|=a，|BF1|=32a，|BF2|=12a。

橢圓上的點到焦點的距離（即焦半徑）表示出來了，便不難想到兩個思路：（1）聯立橢圓方程和距離公式，或利用焦半徑公式，得到A、B的坐標（用a、b表示），利用A、B、F2三點共線建立方程;（2）解焦點三角形，得到cos∠AF2F1、cos∠BF2F1（用a、b表示），利用A、B、F2三點共線建立方程。這便是可選擇的兩個算子。

模式2：觀察圖2，發現有橢圓的焦點弦（兩個焦點三角形的各一條邊共線）——又一個重要的模式。顯然，AB是橢圓過右焦點F2的一條焦點弦（包含了三點共線的條件）。由橢圓的第二定義，作橢圓的右準線A1B1，構造Rt△ABD，如圖3，就有|AD|=|AF2|-|BF2|e。而|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF2|=2|BF2|，就可以得到焦點弦的傾斜角（即180°-∠BAD）與橢圓的離心率之間的一個等量關系：cos∠BAD=|AD||AB|=13e。不過，這個關系怎么利用呢？與另一個條件|AB|=|BF1|有何聯系？暫時不容易想到。

（三）解題遷移：應用算子

思路1：求A、B的坐標。

基本解法：利用焦半徑公式（聯立橢圓方程和距離公式比較麻煩），可得|AF2|=a-exA=a，|BF2|=a-exB=12a，解得xA=0，xB=12·a2c=12a2，從而yA=b，yB=b2-14a2b2（實際上，由|AF1|=|AF2|很容易得到A是橢圓的上頂點，從而可以把圖2修正得更精確）。

由于A、B、F2三點共線，所以b-1=b2-14a2b212a2-1，即得b2+14a4b2-a2b2=b2-14a2b2，解得a2=3，所以橢圓方程為x23+y22=1。

變式解法：解出A（0，b）后，利用A、B、F2三點共線得到B的坐標——列出AF2的方程y=-b（x-1），與橢圓方程聯立解得B的坐標2a21+a2，-b（a2-1）1+a2。然后，利用|AB|=|BF1|等長度關系建立方程（利用|AF2|=2|BF2|時，還可以根據直角三角形相似比直接得到B的橫坐標，從而不求B的縱坐標也可建立方程）;或利用焦半徑公式求出B的坐標后建立方程。這是基于點A坐標的特殊性調整條件利用順序后的解法，體現了“算兩次”的思想，與基本解法計算的繁雜程度差不多。

思路2：求cos∠AF2F1、cos∠BF2F1。

基本解法：在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠AF2F1=|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|22|AF2|·|F1F2|=a2+4-a24a=1a。在△BF1F2中，由余弦定理得cos∠BF2F1=|BF2|2+|F1F2|2-|BF1|22|BF2|·|F1F2|=14a2+4-94a22a=-a2+2a。

由于A、B、F2三點共線，所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，即得-a2+3=0，解得a2=3，所以橢圓方程為x23+y22=1。

變式解法：分別在△AF1F2和△ABF1中，利用余弦定理對cosA“算兩次”;或分別在△BF1F2和△ABF1中，利用余弦定理對cosB“算兩次”——前者稍容易一些。從而建立方程。這里把A、B、F2三點共線這一條件隱藏在解△ABF1這個由兩個焦點三角形組成的大三角形中了。此外，還可以利用三角形面積的底乘高公式和兩邊及其夾角公式“算兩次”，得到sin∠AF2F1、sin∠BF2F1（用a、b表示）……

綜上，思路1是解析法，體現了解析幾何的基本思想，即用代數的方法解決幾何問題。解析法也可以看成一種思維模式，解題的過程就是運用模式的過程：曲線與方程對應，交點與方程組的解對應，通過相關條件建立解題需要的方程。思路2是純幾何法，運用了平面幾何的一個基本工具——解三角形。它們的變式解法都運用了“算兩次”的思想。

（四）解題監控：結果評價

解題后的結果評價實際上也就是自我監控或反思的過程，其目的在于積累與擴充知識和經驗，完善認知結構，提高模式的概括層次。概括層次越高，模式的遷移范圍越大。例如，對解題過程進行整理，對其中涉及的基礎知識技能、數學思想方法進行歸納總結，對不同解題思路進行比較并思考優化。由于是在已有的實踐基礎上進行的學習活動，因此學生對問題涉及的知識技能、思想方法的體驗、領悟會更加深刻。

反思1：回到之前找不到思路的模式2，由模式1的兩種解題思路可知cos∠BAD=cos∠AF2F1=11+tan2∠AF2F1=11+b2=1a，或cos∠BAD=cos∠AF2F1=1a，所以1a=13e，所以1a=a3，所以a2=3……

反思2：實際上，模式2中得到的焦點弦傾斜角與橢圓離心率之間的等量關系可以推廣到一般情況：設圓錐曲線的離心率為e，焦點弦的傾斜角為α，焦點分焦點弦所成的兩條線段的長度比為λ，則λ=1+ecosα1-ecosα，即cosα=λ-1（λ+1）e——利用圓錐曲線統一的極坐標方程ρ=ep1-ecosθ，很容易得到這個統一的結論。

反思3：再次推廣上述結論：如果直線不過橢圓的焦點呢？那么凡是與橢圓定義相關的解法就都不再適用了。

變式題1已知橢圓C：x22+2y2=1，過點P（1，0）且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點，若AP=3PB，則k=。

此題比原題少了一個長度關系，多了一個方程條件（原題的橢圓方程相當于知道了一個參數），難度其實降低了——從原來的長度關系求方程條件并不容易。從模式識別的角度看，必須回到長時記憶中，重新尋找相匹配的基礎知識和解題策略。

一種想法是：設A（x1，y1）、B（x2，y2），則k=y1-y2x1-x2，于是找出四個獨立的方程，解出x1、y1、x2、y2即可。具體地，可以由向量關系得x1+3x2=4 ①，y1+3y2=0 ②;由橢圓方程得x212+2y21=1 ③，x222+2y22=1 ④。然后，聯立①②③④解方程組。

另一種想法是待定系數法：設法找到一個含k的方程。設直線AB的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯立，可以解得x1=4k2-2k2+121+4k2，x2=4k2+2k2+121+4k2。代入①即可得到一個含k的方程，解得k2=12。

此外，還可以這么想：將直線AB的方程y=k（x-1）與橢圓方程聯立，消去y后得到關于x的一元二次方程，由韋達定理得x1+x2=8k21+4k2 ⑤，x1x2=4k2-21+4k2 ⑥。聯立①⑤⑥解方程組，求得k。

上述三個想法的本質都是解方程（組），體現了解析幾何最基礎也最本真的思想：最基本的代數方法就是方程方法（求定量、定值）和函數方法（求變量、范圍、最值）。當然，解題者還需要預判算法的優劣，發揮元認知在解題監控中的作用。例如，對于第三個想法，應該先聯立①⑤解得x1、x2，再代入⑥。

反思4：繼續推廣上述結論：如果直線不過橢圓的焦點，并且由求值變為求范圍呢？

變式題2已知橢圓x2a2+y24=1（a>0）上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）（0

此題比變式題1少了一個方程條件（a未定），于是由確定的值變成不確定的范圍了，難度當然增加了。但是，從模式識別的角度看，可以類似于變式題1的第一種想法，用四個方程解出x1、x2，當然也能解出y1、y2，不過它們都是用a表示的;然后，由0

二、教學反思

以上解題教學示例表明，在每一單元學習之后的復習教學中，可以選取典型問題，運用模式識別策略，引導學生梳理基礎知識，提煉解題策略，積累本單元的思維模式。這種思維模式積累途徑的本質是：形成知識網絡，優化認知結構，從中形成越來越清晰的思維路徑圖，而這個思維路徑圖又會在模式積累中越來越牢固、越來越暢通。研究表明，在數學概念、原理（定理、公式、法則等）的教學中，都可以利用模式識別策略幫助學生形成清晰的認知結構。在用模式識別策略指導解題教學的過程中，應該注意下列幾點：

一是模式識別不能被簡單地理解為“套題型”。數學問題解決的過程事實上是模式識別對主體思維發生作用的過程，這個過程事實上是思維的再創造。問題表征的轉換是模式識別的基礎，反映了主體的認知結構狀況和思維的靈活性。教學中，要讓學生參與和體會模式識別的過程：在游泳中學會游泳。并且，解題中，應把類型、方法和范例作為一個整體來積累：類型是模式的骨架，范例是模式的血肉，方法是模式的靈魂，三者缺一不可。

二是加強數學思想方法對于培養模式識別能力的統攝作用。正如以上示例，解析法是解析幾何的核心思想，它將解析幾何中的曲線方程概念、位置關系研究方法等統攝起來。在模式識別訓練中，要讓學生掌握其中的思想方法，并能利用變化、轉換的觀點來解決其他問題。在模式形成后，要逐漸地淡化模式意識，使學生能自覺地運用數學思想方法統攝地解決問題。

三是發揮元認知在模式識別中的監控作用。模式只是提供了一種相對穩定的樣本，既非萬能，又非一成不變。遇到一個新的、更深刻的或非常規的問題時，主體需要對問題進行轉化或分解，還需要對模式加以重組，從而創造出更多或更高層次的模式。在引導學生進行模式辨認、連接的過程中，要充分發揮元認知的作用，促進學生主動地理解問題，辨別特征，搜索問題解決策略，與已有的問題解決經驗等相連接，以解決問題，并構建更新或更高層次的模式。

參考文獻：

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